二、非齐次线性方程组 a11x1+a12x2+.+ann=b1 a1x1+a0x+.…+anxn= (1) m11+am2x2+…+amxn n A= 21422 a2n B mI am2 mn 非齐次 系数矩阵AX=B∠方程组的Ax=O方程组的 矩阵形式 导出组
二、非齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ m m mnmn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLL L L 2211 222121 2 2 212111 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mn n n aaa aaa aaa A L MLMM L L 21 2221 2 1211 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n x x x X M 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b m b b B M 2 1 系数矩阵 AX = B 方程组的 = OAX 矩阵形式 非齐次 方程组的 导出组 （ 1 ）
引进向量 12 21 22 a2n 2 B 2 x1C1+x0+…+xnCn= B 方程组的向量方程 非齐次线性方程组的有解判定 方程组(1)有解→B可由a12a2,…,an线性表示 台A=(a1,a2,…,Cn,B),r(A)=r(A) A=(a1a2,…,an2B)称为方程组(1)增广矩阵 非齐次线性方程组的解法 1非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组的有解判定 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b m b b M 2 1 β ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 21 11 1 a m a a M α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 22 12 2 a m a a M α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mn n n n a a a M 2 1 L α α + xx α2211 + L + x αnn = β 引 进 向 量 方程组的向量方程 方程组（ 1）有解 ⇔ β 可由 α α21 L ,,, αn线性表示 )()(),,,,,( A 21 ArAr =⇔ L n βααα = ),,,,( )1( . A = 21 L n βααα 称为方程组 的增广矩阵 非齐次线性方程组的解法 1.非齐次线性方程组解的性质
性质1:非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的解。 An =B, an2=B= A(n1-n2)=0 性质2:非齐次方程组(1)的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组(1)的解 An=B3A5=0→A(+5)=B 2非齐次线性方程组的通解 定理:设n是非齐次方程组的一个特解,51,52,…,n-是其导 出组的基础解系,则非齐次方程组(1)的通解为 7+k151+k252+ n-r5n-r k12k2…,kn为任意常数,r=r(A 推论:(1)r(A)=r(④)=n时,方程组()有惟一解; (i)r(A)=r(4)<n时,方程组(1)有无穷多解,其 通解为+k151+k252+…+kn=r5n=r (i)r(4)≠r(A)时,方程组(1)无解
性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。 η1 = , η2 = BABA ⇒ A η −η21 )( = O 性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。 η = , ξ = OABA ⇒ A η + ξ )( = B 2.非齐次线性方程组的通解 设η∗是非齐次方程组的一个特解， rnrn kk k −− ∗ ξξη 2211 L++++ ξ 出组的基础解系， ξ ξ 21 L,,, ξ −rn 是其导 则非齐次方程组（1）的通解为 定理： ,,, ).( 21 kkk Arr L −rn 为任意常数， = 推论： )()()( == nArAri 时，方程组（1）有惟一解； )()()( <= nArArii 时，方程组（1）有无穷多解，其 通解为 rnrn kk k −− ∗ ξξη 2211 L++++ ξ ≠ ArAriii )()()( 时，方程组（1）无解
例1:求解方程组(x1+22-0 (A)=r(A) 2x1+3x2+x 有解 4x1+7x 2-3 =2 12-1:1 12-1:1 2-1:1 A=2310 0-13:-20-13:-2 47-1:2 0-13:-2)(000:0 05:-3)105:-3 0-13:-2 000:0 00 30 :0 X 同解方程组为 3-3 x2=3x3+2
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =++ =−+ 74 2 032 12 321 321 321 xxx xxx 例 1：求解方程组 xxx ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − = 2 0 1 174 132 121 M M M A ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − − − − → 2 2 1 310 310 121 M M M ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −− − → 0 2 1 000 310 121 M M M ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ − − −→ 0 2 3 000 310 501 M M M ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − ⎞ −→ 0 2 3 000 310 501 M M M 有解 = ArAr )()( ⎩ ⎨ ⎧ += −−= 23 35 32 31 xx xx 同解方程组为
x 0.→ x1=-3∴特解为n=(-3,2,0) 2 x3=1,→ 所以基础解系为5=(-5,3,1) x1=-5x 通解为n+k5 2=3x3
+ kξη 通解为 ∗ x3 ,0 ⇒= ⎩⎨⎧ =−= 23 21xx x3 ,1 ⇒= ⎩⎨⎧ =−= 35 21xx T ∴ −= )0,2,3( ∗ 特解为η 所以 基础解系为 T ξ −= )1,3,5( ⎩⎨⎧ =−= 32 31 35xx xx