电子教案 目录 行列式 基本要求 内容提要 1.排列的逆序与逆序数 2.奇偶排列 3.对换改变排列的奇偶性 22222 4.n阶行列式的定义 5.n阶行列式的性质 6.余子式、代数余子式的定义 7.行列式按行(列)展开定理 8.几个特殊行列式的值 9.克兰姆法则 典型例题 (一)关于行列式概念的典型例题… 558 (二)用定义与性质计算行列式的典型例题 (三)用展开法计算行列式的典型例题 (四)行列式计算杂例 (五)克莱姆法则 22
电子教案 目 录 行列式........................................................................................................................ 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 排列的逆序与逆序数..................................................................................... 2 2. 奇偶排列 ...................................................................................................... 2 3. 对换改变排列的奇偶性 ................................................................................. 2 4. n 阶行列式的定义......................................................................................... 2 5. n 阶行列式的性质......................................................................................... 3 6. 余子式、代数余子式的定义 .......................................................................... 4 7. 行列式按行（列）展开定理 .......................................................................... 4 8. 几个特殊行列式的值..................................................................................... 4 9. 克兰姆法则................................................................................................... 5 三、典型例题..................................................................................................... 5 ( 一 ) 关于行列式概念的典型例题 ................................................................... 5 ( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题....................................................... 8 ( 三 )用展开法计算行列式的典型例题.............................................................11 ( 四 ) 行列式计算杂例................................................................................... 12 ( 五 ) 克莱姆法则.......................................................................................... 22
行列式 基本要求 1.了解n阶行列式的定义 2.了解行列式的性质,掌握行列式的计算 3.掌握克兰姆法则 内容提要 1.排列的逆序与逆序数 由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.在一个排列中任取两个数,如果 前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序;一个排列中逆序的总数称为这个排列 的逆序数 2.奇偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列 3.对换改变排列的奇偶性 把一个排列中两个数的位置互换,其余的数不动,这样得到一个新的排列,这两个数的位 置互换称为对换.每一个对换都要改变排列的奇偶性. 4.n阶行列式的定义 设n个数组成n行n列的方块 称为n阶行列式,它表示数
行列式 一、基本要求 1. 了解 n 阶行列式的定义； 2. 了解行列式的性质 , 掌握行列式的计算； 3. 掌握克兰姆法则 二、内容提要 1. 排列的逆序与逆序数 由 1, 2, …, n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列.在一个排列中任取两个数,如果 前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列 的逆序数. 2. 奇偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 3. 对换改变排列的奇偶性 把一个排列中两个数的位置互换,其余的数不动,这样得到一个新的排列,这两个数的位 置互换称为对换.每一个对换都要改变排列的奇偶性. 4. n 阶行列式的定义 设 n 2 个数组成 n 行 n 列的方块 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为 n 阶行列式,它表示数
1a22 ∑(-1)b“a 其中,a称为第i行第j列的元素,A表示对所有n级排列求和 5.n阶行列式的性质 aIn a11 a21 性质1m 性质2 特别地,如果行列式中某一行全为零,则行列式为零 ba+ca bi2+c bin +cin=b bi2 bin I+cc 性质3am 性质4行列式中两行互换,则行列式改变符号 性质5若行列式有两行对应元素相同,则这个行列式为零 性质6若行列式有一行元素是另一行对应元素的k倍(即两行成比例),则行列式为 性质7将行列式的某一行的k倍(即将这行的每一个元素乘以k)加到另一行,行列式 不变 注意:性质2~7中将行换成列,其结论均成立
n n n j j nj j j j j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = (−1) 其中,aij称为第 i 行第 j 列的元素, n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和. 5. n 阶行列式的性质 性质 1 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = 性质 2 n n n n i i i n n n n n n i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 特别地,如果行列式中某一行全为零,则行列式为零. 性质 3 n n n n i i i n n n n n n i i i n n n n n n i i i i i n i n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + = + 性质 4 行列式中两行互换,则行列式改变符号. 性质 5 若行列式有两行对应元素相同,则这个行列式为零. 性质 6 若行列式有一行元素是另一行对应元素的 k 倍（即两行成比例）,则行列式为 零. 性质 7 将行列式的某一行的 k 倍（即将这行的每一个元素乘以 k）加到另一行,行列式 不变. 注意：性质 2～7 中将行换成列,其结论均成立
6.余子式、代数余子式的定义 在n阶行列式中,把a所在的第i行和第j列划去后,留下的n-1阶行列式称为a的 余子式,记作Mn将它带上符号(-1)后所得的 4=(-1)M 称为a的代数余子式 7.行列式按行(列)展开定理 行列式等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 anA1+a2A2+…+anAn(=1,2,…,n) D=aA +aia 一般地有 ∑a4 k=1.2 ai Aik (,k=1,2 ≠ 注意:有时也用Dn=a1A41+a12412+…+a1nn(D1=a1=a1)来给出n阶行列式的 8.几个特殊行列式的值 =a1422…am =a1422…am Isj<isn
6. 余子式、代数余子式的定义 在 n 阶行列式中,把 aij所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下的 n − 1 阶行列式称为 aij的 余子式,记作 Mij,将它带上符号 i+ j (−1) 后所得的 ij i j Aij M + = (−1) 称为 aij的代数余子式. 7. 行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ( 1, 2, , ) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ai nAi n i = n 或 ( 1, 2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anjAnj j = n 一般地有 ( , 1, 2, , ) 0 1 i k n k i D k i a A n j ij kj = = = = 或 ( , 1, 2, , ) 0 1 j k n k j D k j a A n i ij i k = = = = 注意：有时也用 ( | | ) Dn = a11A11 + a12A12 ++ a1n A1n D1 = a11 = a11 来给出 n 阶行列式的 定义. 8. 几个特殊行列式的值 nn nn n n a a a a a a a a a 11 22 22 2 11 12 1 0 0 0 = nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 = − − − = − j i n i j n n n x n n x x x x x x x x x x x 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 1
克兰姆法则 对于线性方程组 b b anIx,+an2x2+.+a nxn=b 如果系数行列式 2 a21 a 则方程组(1-1)有唯一解,这个解由下列公式表示 (B.合) 其中,D,(=1.2,…,m)是把D中第j列换成常数项bb2,…b,而其余各列不变的行列式 特别地,对于齐次线性方程组 1x1+a12 a,Ix+ a,x 0 如果系数行列式D≠0,则方程组(1-2)只有唯一的零解换句话说,如果方程组(1-2)有 非零解,则必有D=0 典型例题 (一)关于行列式概念的典型例题 例1计算排列mn-1)…21的逆序数并指出它是奇排列还是偶排列 解由于与1构成的逆序的数有n-1个,与2构成逆序的数有n-2个,依次类推,与 1构成逆序的数有1个,故
9. 克兰姆法则 对于线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1-1） 如果系数行列式 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a D 则方程组（1-1）有唯一解,这个解由下列公式表示 = D D D D D D x x x n n ( , , , ) , , , 1 2 1 2 其中, D ( j 1, 2, , n) j = 是把 D 中第 j 列换成常数项 b b bn , , , 1 2 ,而其余各列不变的行列式. 特别地,对于齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1-2） 如果系数行列式 D 0 ,则方程组（1-2）只有唯一的零解.换句话说,如果方程组（1-2）有 非零解,则必有 D = 0. 三、典型例题 ( 一 ) 关于行列式概念的典型例题 例 1 计算排列 n(n −1)21 的逆序数,并指出它是奇排列,还是偶排列. 解 由于与 1 构成的逆序的数有 n − 1 个,与 2 构成逆序的数有 n − 2 个,依次类推,与 n − 1 构成逆序的数有 1 个,故