电子教案 目录 特征值 基本要求 内容提要 1.特征值与特征向量 2.特征向量的性质 3.特征多项式 4.特征值与特征向量的求法 5.相似矩阵 6.矩阵A与对角形矩阵相似(称为A可对角化)的条件 7.若n阶矩阵A的特征值全是f(4)=E-A=0的单根,则A可对角化…3 8.矩阵对角化的步骤 典型例题 (一)特征值与特征向量 (二)矩阵的相似
电子教案 目 录 特征值........................................................................................................................ 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 特征值与特征向量 ........................................................................................ 2 2. 特征向量的性质............................................................................................ 2 3. 特征多项式................................................................................................... 2 4. 特征值与特征向量的求法.............................................................................. 3 5. 相似矩阵 ...................................................................................................... 3 6. 矩阵 A 与对角形矩阵相似（称为 A 可对角化）的条件.................................... 3 7. 若 n 阶矩阵 A 的特征值全是 f ( ) =| E − A |= 0 的单根, 则 A 可对角化..... 3 8. 矩阵对角化的步骤 ........................................................................................ 3 三、典型例题..................................................................................................... 4 （一）特征值与特征向量................................................................................... 4 （二）矩阵的相似............................................................................................ 13
特征值 基本要求 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法; 2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件,会化矩阵为相似对角形 、内容提要 1.特征值与特征向量 设A为n阶方阵,a为n维非零列向量,λ为一个数,使得 则称λ为A的一个特征值,a为A对应于λ的一个特征向量 2.特征向量的性质 (1)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的 (2)同一特征值0的特征向量1,a2,am的任意非零线性组合 ka1+k2a2+…+kna 仍然是对应于0的特征向量 特征多项式 f(4)=AE-A|=λn+a1Am+…+an1A+an 其中, a1=-(41+A2+…+An) (-1)"|A=(-1)”元122… 112…2n是A的全部特征值
特征值 一、基本要求 1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念并掌握其求法； 2. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件 , 会化矩阵为相似对角形 . 二、内容提要 1. 特征值与特征向量 设 A 为 n 阶方阵, 为 n 维非零列向量, 为一个数, 使得 A = 则称 为 A 的一个特征值, 为 A 对应于 的一个特征向量. 2. 特征向量的性质 （1）对应于不同特征值的特征向量是线性无关的； （2）同一特征值 0 的特征向量 m , , , 1 2 的任意非零线性组合 m m k11 + k2 2 ++ k 仍然是对应于 0 的特征向量. 3. 特征多项式 n n n n f = E − A = + a + + a + a − − ( ) | | 1 1 1 其中, ( ) a1 = − 1 + 2 ++ n n n n an ( 1) | A | ( 1) = − = − 1 2 n , , , 1 2 是 A 的全部特征值
4.特征值与特征向量的求法 (1)求f(4)=E-A上=0的相异根112…λm (2)分别求[A,E-4X=0的基础解系an,aL2,…an,则非零线性组合 k k, a k a 是A对应于的全部特征向量 5.相似矩阵 对于n阶矩阵A、B如果存在可逆矩阵P,使得 B= P-AP 则称A与B相似,记为A~B 矩阵A与对角形矩阵相似(称为A可对角化)的条件 n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量, e对于A的每一个k重特征值,R(A,E-1)=n-k e对于A的每一个k重特征值,[A,E-X=0的基础解系 由k个解向量组成 7.若n阶矩阵A的特征值全是f()=E-4上的单根,则A可对角化 8.矩阵对角化的步骤 (1)求A的全部特征值11,12,…1n (2)对每个不同的求 [λ,E-A]X=0 的基础解系 (3)以A的n个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵 P=la
4. 特征值与特征向量的求法 （1）求 f ( ) =| E − A |= 0 的相异根 m , , , 1 2 ； （2）分别求 [ iE − A]X = 0 的基础解系 i i ir , , , 1 2 , 则非零线性组合 i i r ir k1 1 + k2 2 ++ k 是 A 对应于 i 的全部特征向量. 5. 相似矩阵 对于 n 阶矩阵 A、B, 如果存在可逆矩阵 P, 使得 B P AP −1 = 则称 A 与 B 相似, 记为 A～B. 6. 矩阵 A 与对角形矩阵相似（称为 A 可对角化）的条件 n 阶矩阵 A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量, 对于 A 的每一个 ki重特征值 i i i ,R( E − A) = n − k , 对于 A 的每一个 ki重特征值 i ,[ iE − A]X = 0 的基础解系 由 i k 个解向量组成. 7. 若 n 阶矩阵 A 的特征值全是 f ( ) =| E − A |= 0 的单根, 则 A 可对角化. 8. 矩阵对角化的步骤 （1）求 A 的全部特征值 n , , , 1 2 ； （2）对每个不同的 i 求 [ iE − A]X = 0 的基础解系； （3）以 A 的 n 个线性无关的特征向量为列向量构成可逆矩阵 [ ] P = 1 2 n 则
P-lAP 其中,a1a2…n的排列顺序与λ112…n一致 三、典型例题 (一)特征值与特征向量 例1如果任意非零n维列向量都是n阶矩阵A的特征向量,试证A是数量矩阵(即主对角 线元素相同的对角形矩阵) A= 又设 0是A对应于特征值1的特征向量,则由4a1=1a可得: 1,an=0,(i=2,…,m) 同理可证:an=,an=0,(≠ 再设 是A对应于特征值λ的特征向量,则由Aa=La可得: 11=a22=…=am 故A为数量矩阵
= − n P AP 2 1 1 其中, n , , , 1 2 的排列顺序与 n , , , 1 2 一致. 三、典型例题 （一）特征值与特征向量 例 1 如果任意非零 n 维列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量, 试证 A 是数量矩阵（即主对角 线元素相同的对角形矩阵）. 证 设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 又设 = 0 0 1 1 是 A 对应于特征值 1 的特征向量, 则由 A1 = 1 1 可得： , 0, ( 2, , ) a11 = 1 ai1 = i = n 同理可证： , 0, ( ) a a i j ii = i ij = 再设 = 1 1 1 是 A 对应于特征值 的特征向量, 则由 A = 可得： a11 = a22 == ann 故 A 为数量矩阵
例2已知可逆矩阵A的特征值与特征向量,求A-与A的特征值与特征向量 解设λ是A的特征值,a是A对应于λ的特征向量,则由A可逆且a≠0可知 Aa=Ag≠0 于是A≠0 且 I(Aa)=a a=1 故λ是A-的特征值,a是A-的特征向量 14,A=14 所以,Aa=4|AaAa 即,元是A的特征值,a是A的特征向量 例3设A是正交矩阵且4-1,证明:-1是A的一个特征值 证 (-1)E-A|=|-AA-A|=|4||-47-E =|A||(E-A)|=-|(-1)E-A 所以,1(-1)E-A=0,即,-1是A的一个特征值 要证明是矩阵A的特征值,可以设法证明存在列向量a,使x=0a,也可以设法 证明是A的特征多项式f()=AE-4的根.同样,要证明a是A对应于特征值的 特征向量,也可以设法证明d=40a或a是齐次线性方程组[E-1X=0的解向量 例4设元是矩阵A的特征值,f(x)是x的多项式,试证:f()是f(A)的特征值 证首先证明若λ是A的特征值,则是Am的特征值 由A=a可得fa=4(4a)=4(a)=(la)=2a 设ma=1m-a,则
例 2 已知可逆矩阵 A 的特征值与特征向量, 求 −1 A 与 * A 的特征值与特征向量. 解 设 是 A 的特征值, 是 A 对应于 的特征向量, 则由 A 可逆且 0 可知 A = 0 于是 0. 且 1 1 ( ) − − A A = A () 即 = − ( ) 1 A , = − 1 A 1 故 1 是 −1 A 的特征值, 是 −1 A 的特征向量. 又, 1 * * 1 , | | | | − 1 − = A A = A A A A , 所以, * 1 | | − A = A A | | 1 A 即, | | 1 A 是 * A 的特征值, 是 * A 的特征向量. 例 3 设 A 是正交矩阵且 | A|= −1 , 证明： −1 是 A 的一个特征值. 证 | ( 1)E A| | AA A| | A| | A E | T T − − = − − = − − | A| | ( E A) | | ( 1)E A| T = − − = − − − 所以, | (−1)E − A |= 0 , 即, −1 是 A 的一个特征值. 要证明 0 是矩阵 A 的特征值, 可以设法证明存在列向量 , 使 A = 0 , 也可以设法 证明 0 是 A 的特征多项式 f () =| E − A | 的根. 同样, 要证明 是 A 对应于特征值 0 的 特征向量, 也可以设法证明 A = 0 或 是齐次线性方程组 [0E − A]X = 0 的解向量. 例 4 设 是矩阵 A 的特征值, f (x)是 x 的多项式, 试证：f ()是 f (A)的特征值. 证 首先证明若 是 A 的特征值, 则 m 是 m A 的特征值. 由 A = 可得 A = A(A ) = A 2 ( )= (A)= 2 设 m−1 A = m−1 , 则