bb2.b1n D= b21b2.b2n bn:b2.ba 即DF的(i,)元为b,则b=a.(ij=1,2,.,n),按定义 Dr=(-l0b,b.bw,=2(-1)'aae.u 而由定理2，有 D=(-1）'ap1a:"a.* 故 DT=D. 证毕 由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立，反之亦然 性质2互换行列式的两行（列），行列式变号， 证设行列式 bb12.b1n D,= b2b.b bn1bn3.bm 是由行列式D=det(au)对换i,两行得到的，即当k≠i,j时，b。=ap:当k= i,j时，bp=ap,bp=ap,于是 D1=2(-1)'61.bg.bm.bn =2(-1'aw,.a%.an.am =2(-1)fa%.ay,.ana. 其中1.ij.n为自然排列，t为排列p.户.p,的逆序数.设排列p1 .p,.力，.p,的逆序数为t,则（一1）=一(-1卢，故 D,=-2(-1ra,.ay.a%.u.=-D. 证毕 以，表示行列式的第i行，以c:表示第i列.交换i两行记作r,一r,交 换i,j两列记作c,c,. 推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 证把这两行互换，有D=-D,故D=0. 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. 第i行（或列）乘以k,记作r:×(或c,×) ·10·
推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外 第；行（或列）提出公因子，记作r,÷(或c,÷k) 性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零. 性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素 都是两数之和： .(a,+ai）.a1. D= anag.(a+air）.a2n an:a:.（a+a）.an 则D等于下列两个行列式之和： D=a21 a ala.a.a ala2ai,.aa + a2a2ai. 42 aw. 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变， 例如以数乘第j列加到第：列上（记作：+，），有 a.aw.ay.am an.（a,tky）.a.aw s+sa2n.(d2:+kay）.az.a: (i≠). a.(at如g）.an.an (以数k乘第j行加到第i行上，记作r:+r,） 以北诸性质请读者证明之 上述性质5表明，当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行 (或列)可分解为两个行列式.若n阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它 11
可分解成2”个行列式.例如二阶行列式 -++ c d 性质23.6介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即，一r、r,× r,+r,和c,+c,、C,Xk、C,+kc,利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利 用运算r,+kr,(或c:中c,)可以把行列式中许多元素化为0.计算行列式常用的 一种方法就是利用运算r,+r,把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列 式的值.请看下例。 例7计算 3 1-1 2 D -513-4 20 1-1 1-5 3·3 解 3-1 21 r2-r1 {13-1 2 Dfive2 1-5 3 -4+51 0 -8 4 6 0 2 1-1 2 1 -1 -5 1 3 -3 0 6 -2 7 11 3 -1 2 r3+4r3 13 -1 2 30 2 1 1-80 2 0 -8 -6 0 -10 016 -2 7 00-10 15 13 -1 2/ 02 1 -1 00 8 -1040. 000 上述解法中，先用了运算c1艹℃2，其目的是把a,换成1，从而利用运算r, a1r1,即可把a(i=2,3,4)变为0.如果不先作c艹c2,则由于原式中a=3, 需用运算，-号1把a变为0，这样计算时就比较麻烦.第二步把r“r和 r4+5r1写在一起，这是两次运算，并把第一次运算结果的书写省略了. 例8计算 ·12·
3111 D= 1311 1131 1113 解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6.今把第2、3、4行同时加 到第1行，提出公因子6，然后各行减去第一行： 66661 1111 D11314 61311 1131 1131 1113 1113 11111 r2-「1 r1“P1 0200=48 -60020 00021 例9计算 6 D=a a+b a+b+c u+b+c+d a 2a+b 3a+2b+c 4a+36+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a +6b+3c+d 解从第4行开始，后行减前行： ra-ra h r3-r2 0 aa+b a+h+c D ra-r 0 a 2u+b 3a126+c 0&3ab6a+3b+c ab d ÷886 00 2a+h 00 a 3:+b ia b e d r-r 0 aa+b a+b+ci =a 00 2a+b 000 9 上述诸例中都用到把儿个运算写在-一起的省略写法，这里要注意各个运算 的次序一般不能颠倒，这是由于后一次运算是作用在前一次运算结果上的缘故 例如 ·13·
c d c d 1-a-6 a b a b ritr c d c d Ic-a d-6 Ic-a d-b' 可见两次运算当次序不同时所得结果不同.忽视后一次运算是作用在前一次运 算的结果上，就会出错，例如 a bntrz a+cb+d c di r-rc-a d-b 这样的运算是错误的，出错的原因在于第二次运算找错了对象 此外还要注意运算r:+,与，+，的区别，记号r,+r,不能写作r,+, (这里不能套用加法的交换律). 上述诸例都是利用运算r,+:,把行列式化为上三角形行列式，用归纳法 不难证明（这里不证）任何”阶行列式总能利用运算，：+kr,化为上三角形行列 式，或化为下三角形行列式（这时要先把a,.,a。1.化为0）.类似地，利用列 运算(，+kc,也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式。 例10设 a. 0 D= ci.ctbl.b。 an.au D,=det(a）=: a. a址 .bn D2=det(b)= b1.bn 证明D=DD· 证对D,作运算，+kr,把D,化为下三角形行列式，设为 Pu 0 D=. 品卫1.妆； 对D2作运算c:+kc,把D2化为下三角形行列式，设为 ·14·