逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列 下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设”个元素为1至n这”个自然数，并规定由小到大为 标准次序.设 pp2.p 为这n个自然数的一个排列，考虑元素(i=1,2,.,n),如果比p:大的且排 在p,前面的元素有t:个，就说p,这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数之 总和 即是这个排列的逆序数 例4求排列32514的逆序数 解在排列32514中， 3排在首位，逆序数为0： 2的前面比2大的数有一个(3)，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0： 1的前面比1大的数有三个(3、2、5)，故逆序数为3； 4的前面比4大的数有一个(5)，故逆序数为1，于是这个排列的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5. §3n阶行列式的定义 为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式定 义为 au anan anan un=ananas+anazan +audnan 4nQ2432-a1e21a3-a13a22a1, (6) 容易看出： ()(6)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的 行，不同的列.因此，(6)式右端的任一项除正负号外可以写成@n4,口，这 里第一个下标（行标）排成标准次序I23,而第二个下标（列标）排成p,p:p,它 是1、2、3三个数的某个排列.这样的排列共有6种，对应(6)式右端共含6项 ()各项的正负号与列标的排列对照： ·5
带正号的三项列标排列是：123,231,312； 带负号的三顶列标排列是：132,213,321。 经计算可知前三个排列都是偶排列，而后二个排列都是奇排列.因此各项所 带的正负号可以表示为（一1）”，其中：为列标排列的逆序数。 总之，三阶行列式可以写成 an an as ananan=-1Yamdznam a3 ax u33 其中：为排列力，中：P,的逆序数，≥表示对1,2,3元个数的所有排列p取 和. 仿此，可以把行列式推广到一殷情形. 定义设有n个数，排成n行”列的数表 ana2.a1n a2ia2.an ala2.a 作出表中位于不同行不同列的”个数的乘积，并冠以符号(-1)'，得到形如 （-1)'a,a2p2.a, (7) 的项，其中1p.力.为自然数1,2，.，的一个排列，t为这个排列的逆序数 由于这样的排列共有n!个，因而形如(7)式的项共有n!项.所有这n！项的 代数和 (-1)'a1,a.an 称为”阶行列式，记作 a1a12.an D= a2la2.“w ala2.aw 简记作det(a,),其中数为行列式D的(i,j)元. 按此定义的二阶、三阶行列式，与§1中用对角线法则定义的二阶、三阶行 列式，显然是一致的.当n=1时，一阶行列式|a【=a,注意不要与绝对值记号相 混涌 例5证明n阶行列式 6
=1A.n 入 . =（-1)"a1A.元 其中未写出的元素都是0. 证第.式左端称为对角行列式，其结果是显然的，下面只证第二式。 若记入，：a.。+,测依行列式定义 d1, A. = a2.41 a -(-1ya1.a-4.a1-（1'a.a. 其中1为排列n(n一1)小.21的逆序数，故 1=0+1+2+.+(n-10=n(”-1) 证毕 主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的 伯与对角行列式一样。 例6证明下三角形行列式 0 a2tx D= =aa2n.am ala2.u 证由于当j>i时，a。=0,故D中可能不为0的元素a,其下标应有 p,≤i,即p1≤1，p≤2，.，p.≤n 在所有排列，p,.力，中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列2.”， 所以D中可能不为0的项只有一项(-1)'a1a2.“m.此项的符号(-1'=(- 1)°=1，所以 D=ana2.uw 。7
§4对换 为了研究”阶行列式的性质，先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关 系 在排列巾，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续 叫做对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换 定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 证先证相邻对换的情形。 设排列为a,.uuld1.bn,对换a与b,变为u1.a,ab.bn.显然，a1, .,4;b,.,b。这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a,b两元素的逆序 数改变为：当a<b时，经对换后a的逆序数增加1而力的逆序数不变：当a>b 时.经对换后a的逆序数不变而b的逆序数诚少L.所以排列a1.aab如，.b '与排列u1.a,b,.bn的奇偶性不问 再证一般对换的情形. 设排列为a,.aah,.bnx1.c.,把它作n次相邻对换，变成a1aabi .bnc1.c,再作m+1次相邻对换，交成a1.ab,.bnac,.c,总之，经2n +1次相邻刈换，排列a1.uab,.bnbc,.g。变成排列u:.ab1.bwac,.c, 所以这两个排列的奇偶性相反， 推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对 换次数为偶数 证由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶 排列（逆序数为0），因此知推论成立 证毕 利用定理1，下面来讨论行列式定义的另一种表示法 对于行列式的任一项 其中1.ij.%为自然排列，1为排列p,.p.p.p.的逆序数，对换元索 ap与jap成 （-1)'a1.a,.a.a’ 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新 的行标排列1.j.n的逆序数为r,则r为奇数：设新的列标排列力，“书， ,.p,的逆序数为t1,则 (-1=-(-1)'.故(1)》=(-1)*，于是 8
(-1)'an,.ap.aea,=(-1)ta1,.a%.an.a,· 这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列马与列标排列同时作了相 应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性，经一次对换是 如此，经多次对换当然还是如此.于是，经过若十次对换，使： 列标排列p,p.p.(逆序数为t)变为自然排列（逆序数为0）： 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为92 4,其逆序数为，则有 （-1)'anan.4g.=(-l)a,1ug2.a 又.若p,=j,则g,=(即apa与=aw,）.可见排列192.4。由排列p,p: “.所惟一确定 由此可得 定理2n阶行列式也可定义为 D=-1)'a,ap.a 其中1为行标排列p:P:.p。的逆序数 证按行列式定义有 D=2(-1)'a1ha,.u 记 D,=2(·)'ap,a., 上面讨论知：对于D中任一项(1'，“.a,总有且仅有D,中 的某一项(-)a,a.a与之对应并相等：反之，对于D中的任一项 （-1),1a.u,也总有且仅有D中的米一项(-1)asa.a.与之对 应并相等，丁是D与D,中的项可以一对应并相等，从而D一D, §5行列式的性质 a.a,D= D=:: ala2.an a12w.am 行列式D称为行列式D的转置行列式· 性质1行列式与它的转置行列式相等 证记D=det(a,)的转置行列式 .0