习题四. .108 第五章相似矩阵及二次型.113 1向的内积、长度及正交性.113 药2乃阵的特征值与特征向绿.1【9 》3相似矩阵 123 ”4对称矩阵的对角化.。 126 $5一二次型及其标准形. 129 §6用配方法化二次型城标准形.。 134 谷7正定二次型. 题 .137 ·第六章线性空间与线性变换 141 §1线性空间的定义与性质 141 2维数，基与坐标. .144 约3基变换与坐标变换. 146 的4线性变换. .149 5线性变换的矩阵表示式，。，.， 4152 习题六. .156 习题答案 158
第一章 行列式 本章主要介绍n阶行列式的定义、件质及其计算方法.此外还柴介绍用 阶行列式求解n元线性方程组的克拉默(Cramer)法圳. §1二阶与三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 ∫anx1+a2x2=b, (1) (anr+ant:b2. 为消去未知数工2，以a2与《：分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得 （a1a2z-a12a21）x1=b,aa-aeh2; 类似地.消去x,得 （a1a2-a2a2i）x2=anb2-1a21 当&142-a:a21≠0时，求得方程组(1)的解为 00经器 (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.其中分母au“ ~a2a是由方程组(I)的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组(1)中 的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 auau (3) anan 表达式a1a2-ana:称为数表(3)所确定的三阶行列式，并记作 un an (4) ua az 效a(i=1,2:)=1,2)称为行列式(4)的心素或元.元索a,的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第：行，第二个下标)称为列标，表明该元素位于第 。】·
广列.位于第i行第)列的元素称为行列式(4)的(i,)元. 上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1.1，把a:到a2 的实联线称为主对角线，a1,到a!的虚联线称为副对角线， 于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角 线上两元素之积所得的差. 利用二阶行列式的概念，(2)式中，x2的分子也可写 成二阶行列式，即 图1.1 b1a2-a2b:= b:a12 a2b 若记 那么(2)式可写成 an b D b2 a D、 an b2 a1a2{ 注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列式（称系数行 列式)，k1的分子D,是用常数项b1、b,林换D中x,的系数a1a:所得的二 阶行列式，x:的分子D2是用常数项b,b,替换D中x:的系数a1、a2所得的 二阶行列式 例1求解二元线性方程组 3x1-2x1=12. 2x:+x:=1. 解由于 D==-(-4=70 -f贤引e(-24 -日-341， 因此 号-92，=- 二、三阶行列式 定义设有9个数排成3行3列的数表 。2
421a2a23 (5) aa dx ax ananan un an am las an ax =auanass+anaas+andzan -undnax danas-unsanan, (6) (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式. 上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘 积再冠以正负号，其规律遵循图【.2所示的对角线法则：图中有三条实线看作是 平行于主对角线的联线，三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上三元素 的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号， 图1.2 例2计算三阶行列式 12-4 D=-221 -34-2 解按对角线法则，有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 -1×1×4-2×(-2)×(-2)-(-4)×2×(-3) =-4-6+32-4-8-24=.14. 例3求解方程 11 23x✉0. 49x2 ·3
解方程左端的三阶行列式 D=3x2+4x+18-9x-2x2-12 =x2-5x+6, 出x2-5.r+6=0解得x=2或x=3. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面 先介绍有关全排列的知识，然后引出n阶行列式的概念 §2全排列及其逆序数 先看一个例子 引例用1、2,3个数字，可以组成多少个没有重复数学的三位数？ 解这个问题相当于说，把个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种 不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法：十位上 只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法；而个位上只能放最后剩下的 个数字，所以只有1种放法.因此，共有3×2×】=6种放法. 这六个不同的三位数是： 123,231,312,132,213,321 在数学中，把考察的对象，例如上例中的数字1、2、3叫做元素，上述问题就 是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于个不同的元素，也可以提出类似的问题：把：个不同的元素排成一 列，共有几种不同的排法？ 把”个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）， ”个不同元素的所有排列的种数，通常用P,表示由引例的结果可知P, 321=6. 为了得出计算P,的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法； 又从剩下的n一1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n一1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取 法.于是 f.三1·（1-1）··321=粒】， 对于”个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同 的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这”个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆 序的总数叫做这个排列的逆序数。 4