例1考察f(x,y)=xy在任一点(xo,y)的可微性. 二、偏导数 定义2设函数z=f(x,y),(化，y)∈D,且f(,y)在 x的某邻域内有定义.则当极限 lim△乏=imfx,+Ax,w)-f(x,y） △x→0△x△x→0 △x 存在时，称此极限为f在点(x,y)关于x的偏导数， 记作 f人或 oz axw)'axxn 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例1 考察 0 0 f x y x y x y ( , ) ( , ) . 在任一点 的可微性 二、偏导数 0 x 的某邻域内有定义. 则当极限 存在时, 称此极限为 0 0 f x y 在点( , ) 关于x 的偏导数, 0 定义 2 设函数 且 在 z f x y x y D f x y ( , ), ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y x x 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . x x y x y f z f x y x x 或
类似地可定义f在点(x,y)关于y的偏导数： lim △，z =limf+△)-fx,w) Ay→0△yAy0 △y 记作 ∫，(xy,或 of Ox ay ay (xo0) 注1这里 00 是专用于偏导数的符号，与一元 Ox'ay 函数的导数符号d相仿，但又有区别. dx 前页 返回
前页 后页 返回 类似地可定义 0 0 f x y 在点( , ) 关于 y 的偏导数: 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y y y 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . y x y x y f z f x y y y 或 注1 , x y 这里 是专用于偏导数的符号,与一元 d dx 函数的导数符号 相仿,但又有区别
如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的 偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数， 它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数，记作 亲，高或 同理可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数， 记作 或2，xn 前页 后页 返回
前页 后页 返回 如果函数z f ( x, y)在区域D内任一点( x, y)处对x的 偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、 y的函数， 它就称为函数z f ( x, y)对自变量x的偏导数，记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可定义函 数 z f (x, y) 对自变量 y 的偏导数， y f , y z f (x, y) 或, y . 记作
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求票时，只要把x之外的其他自变及智时石成 常量，对x求导数即可。 求时，只要把y之外的其他自变量暂时看成 常量，对y求导数即可。 其它情况类似。 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求 时， x f 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 求 时， y f 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似
有关偏导数的几点说明： 1偏导数兴是一个整体记号，不能拆分： 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求 偏导数的几何意义：z=f(x,y)的几何图象通常是 三维空间中的曲面，设P(x,yo,0)为此曲面上一 点，其中0=f(x,y).过点P作平面y=,它与 曲面相交得一曲线： C:y=yo,z=f(x,y). 前页 后页 返回
前页 后页 返回 偏导数的几何意义: z f x y ( , ) 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 0 0 0 0 P x y z ( , , ) 为此曲面上一 0 0 0 z f x y ( , ) . 0 0 点, 其中 过点 作平面 它与 P y y , 曲面相交得一曲线： 0 C y y z f x y : , ( , ). 有关偏导数的几点说明： １、 ２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求. 偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分;