第六部分二次型 一、选择题 1.二次型f(x,x,x)=x+5+写-4x,出+2x的标准形可以是： (A)y+4: (B)-6片+2y: (C)-: (D)+4+。 2.二次型f(x,x2,x3)=(+x3)户+(2x+3x+x)2-5(x2+x)}的规范型是： (A)片+片-5；(B)-: (C)+乃-：(D)+好。 3.下列矩阵中，正定矩阵是 「123]「1201 (A)245:(B)253: 356 038 「22-2]「5211 (c)25-4:(D)213 -2-45130 4.对于n元二次型x'Ar,下述命题中正确的是 (A)化x'Ax为标准形的坐标变换是唯一的。 (B)化x'A红为规范型的坐标变换是唯一的。 (C)xAx的标准形是唯一的。 (D)xAx的规范型是唯一的。 5.下列矩阵中A与B合同的是 w ®4-6孔s-f 「1「1 110
第六部分 二次型 一、选择题 1.二次型 2 22 1 2 3 1 2 3 12 23 f x x x x x x xx xx , , 5 42 的标准形可以是： （A） ； y y 1 2 4 2 2 （B） 3 2 ； 2 2 2 3 y 2 2 1 2 yyy 6 2 （C） ； y y 1 2 （D） 2 2 1 2 y y 4 。 2.二次型 2 2 123 1 2 1 2 3 2 3 (, , ) ( ) ( ) ( ) 23 5 2 f xxx x x x x x x x 的规范型是： （A） yy y 1 2 2 2 5 3 2 ；（B） ；3 2 3 2 2 2 2 2 y y （C） ；（ yyy 1 2 2 2 D） 。 2 1 y y 3.下列矩阵中，正定矩阵是 （A） ；（B） ； 123 245 356 120 253 0 3 8 （C） 22 2 25 4 2 45 ；（D） 。 521 213 130 4.对于 n 元二次型 T x Ax ，下述命题中正确的是 （A）化 T x Ax 为标准形的坐标变换是唯一的。 （B）化 T x Ax 为规范型的坐标变换是唯一的。 （C） T x Ax 的标准形是唯一的。 （D） T x Ax 的规范型是唯一的。 5.下列矩阵中 A 与 B 合同的是 （A） ； 11 0 1 11 1 2 A B, 0 （B） ； 1 2 2 1 21 12 A B, （C） 11 1 1 3 1 1 A B;
「020]「-1 (D)A=200,B= -2 001 -2 6.与二次型∫=x+x+2x+6xx,的矩阵A既合同又相似的矩阵是 1 4 -1 7.设A,B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则 (A)A与B有相同的特征值：(B)A与B有相同的秩： (C)A与B有相同的特征向量；(D)A与B相同的行列式 8.下列二次型中正定二次型是 (A)f=(x-x)2+(2-x)2+(3-x)2 (B)5=(x+x)+(6,-)+(3+) (C)万=(x+x)+(:2+x)2+(x-x)2+(x-x)月 (D)=(+x)2+(3+x)广+(+x)+(x4-x)月 9.设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B,再将B的i行和j行对 换得到C,则A与C (A)等价但不相似：(B)合同但不相似：(C)相似但不合同：(D)等价，合同 且相似。 二、填空题 -23x 1.设f(x,x)=3-5x,则二次型对应的矩阵是 2.二次型∫=x+4x+2x2+4xx的规范型是 3.已知二次型f(x,x,x)=xAr=2x+2x++4xx+2,x经正交变换 x-Py可化成标准形∫-y+2+7y,则1= 4.若二次型fx,x,x)=ax+4x号+a+6xx+2x,x是正定的，则a的取值范围 是 5.设a=L,0,),A=aa',若B=(kE+A)是正定矩阵，则k的取值范围是
（D） 020 1 200 2 001 2 A B, 2 。 6.与二次型 22 2 12 3 1 f x x x xx 2 6 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是 （A） ；（B） 1 2 8 4 2 2 ；（C） 1 3 0 ；（D） 1 1 1 。 7.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则 （A）A 与 B 有相同的特征值；（B）A 与 B 有相同的秩； （C）A 与 B 有相同的特征向量；（D）A 与 B 相同的行列式。 8.下列二次型中正定二次型是 （A） 2 2 1 12 2 3 31 ( )( )( 2 f xx x x xx ) （B） 2 2 2 12 23 31 ( )( )( 2 f xx xx xx ) （C） 222 3 12 2 3 34 41 ( )( )( )( 2 f xx x x xx xx ) （D） 222 4 12 2 3 3 4 41 ( )( )( )( 2 f xx xx xx xx ) 9.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对 换得到 C，则 A 与 C （A）等价但不相似；（B）合同但不相似；（C）相似但不合同；（D）等价，合同 且相似。 二、填空题 1.设 1 12 2 1 2 2 3 3 5 0 (, ) x f x x x x x ，则二次型对应的矩阵是_____________. 2.二次型 2 2 3 4 12 3 42 4 4 f x x xx x x 的规范型是____________________. 3. 已知二次型 222 1 2 3 1 2 3 13 23 (, , ) 22 4 2 T f x x x x Ax x x ax x x tx x 经正交变换 x Py 可化成标准形 222 1 23 f yyy 2 7 ，则t ________ 。 4.若二次型 2 22 1 2 3 1 2 3 12 23 f (, , ) x x x ax x ax x x x x 4 62 是正定的，则 a 的取值范围 是____. 5.设 (, , ) 101 T ， T A ，若 * B (kE A) 是正定矩阵，则 k 的取值范围是
「11-2 6.已知矩阵A=1-21与二次型xBx=3x+a的矩阵B合同，则a的取 -211 值一 11「2 7.己知A= 1和B=1合同，那么使CAC=B的可逆矩阵 1 -2 C= 8.设A是三阶实对称矩阵，满足4=2A2+5A-6E,保证kE+A是正定阵，则k 的取值范围是 9.设A是mxn矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=-aE+A'A是正定阵，则a的取 值范围是
________. 6.已知矩阵 与二次型 11 2 1 21 21 1 A 2 2 3 3 T 1 x Bx x ax 的矩阵 B 合同，则 a 的取 值___。 7.已知 和 1 1 1 A 2 1 2 B 合同，那么使 T C AC B 的可逆矩阵 C ___ 8.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 3 2 A 2 56 A A E ，保证kE A 是正定阵，则 k 的取值范围是________. 9.设 A 是 矩阵， m n E 是 n 阶单位阵，矩阵 T B aE A A 是正定阵，则 a 的取 值范围是_________
第五部分矩阵特征值、特征向量 一、选择题 「12-2] 1.设矩阵A=4-33,那么矩阵A的三个特征值是 2-11] (A)1,0,-2:(B)1,1,3;(C)3,0,-2:(D)2,0,-3. 2.已知A是4阶矩阵，A广是A的伴随矩阵，若A广的特征值是1,1,2,4，那么不 可逆矩阵是 (A)A-E;(B)2A-E;(C)A+2E;(D)A-4E. 3.己知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是 (A):(B):(C):(D)A-E. 「1-111 4.矩阵A=24-2的特征向量不能是 -3-35 (A)(-1,1,0):(B)(1,-2,3;(C)(1,2,1);(D)(3,-3,0) 「34-4] 5.矩阵A=020有一个特征向量是 2-2-3 (A)(1,0,-1;(B)(3,3,6;(C)(4,-1,2:(D)(1,1,-2)。 6.已知a=(1,-2,3)是矩阵的特征向量，则 (A)a=-2,b=6(B)a=2,b=-6:(C)a=2,b=6(D)a=-2,b=6. 7.设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量a是矩阵A的属于特征值2的 特征向量，那么在下列矩阵中(1)：(2)PAP:(3)A:(4)E-3A,a 肯定是其特征向量的矩阵共有 (A)1个：(B)2个：(C)3个：(D)4个. 8.设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是 (A)若a是A'的特征向量，那么a是A的特征向量： (B)若a是A的特征向量，那么a是A的特征向量： (C)若a是A的特征向量，那么a是A的特征向量： (D)若a是2A的特征向量，那么a是A的特征向量：
第五部分 矩阵特征值、特征向量 一、选择题 1.设矩阵 ，那么矩阵 A 的三个特征值是 12 2 4 33 2 11 A （A）1,0，‐2； （B）1,1,‐3; （C）3,0，‐2； （D）2,0，‐3. 2.已知 A 是 4 阶矩阵， * A 是 A 的伴随矩阵，若 * A 的特征值是 1，‐1,2,4，那么不 可逆矩阵是 (A) A‐E; (B) 2A‐E; (C)A+2E; (D)A‐4E. 3.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是 （A） T A ；（B） 2 A ；（C） 1 A ；（D）A‐E。 4.矩阵 的特征向量不能是 1 11 24 2 3 35 A （A） ；（ ( 1,1, 0) T B）(1, 2, 3) T ；（C） ；（ (1, 2,1)T D）(3, 3, 0) T 。 5.矩阵 有一个特征向量是 344 02 0 223 A （A） ；（ (1, 0, 1) T B）(3, 3, 6) T ；（C） ；（ (4, 1, 2) T D）(1,1, 2) T 。 6.已知 (1, 2, 3)T 是矩阵的特征向量，则 （A）a b 2, 6;（Ｂ）a b 2, 6; （C）a b 2, 6; （D）a b 2, 6. 7.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的 特征向量，那么在下列矩阵中（1） 2 A ；（2） 1 P AP ；(3) T A ；（4） 1 2 E A， 肯定是其特征向量的矩阵共有 （A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个。 8.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是 （A）若 是 T A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量； （B）若 是 * A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量； （C）若 是 2 A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量； （D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量；
9.已知三阶矩阵A与三维非零列向量a,若向量组a,Aa,Aa线性无关，而 Aa=3Aa-2Aa,那么矩阵A属于特征值1=-3的特征向量是 (A)a:(B)Aa+2a:(C)A'a-Aa:(D)A'a+2Aa-3a. 10.设A是三阶矩阵，其特征值是1,3,2，相应的特征向量依次为a,a,%,若 P=Ia,2a,-al,则PAP= 「1 a),,)4(c-2o刨3 3 -3 -3 「1 11.已知PAP=5,a,是矩阵A属于特征值元=1的特征向量，a,与a是 5 矩阵A属于特征值入=5的特征向量，那么矩阵P不能是 (A)[a,-a,a]3 (B)[a,a2+a,a-2a]5 (c)[a,a,a]5 (D)[a,+a,a,-a,a]3 2已数期库4心 ,那么下列矩阵中 wbe[e到w[引与库A相微 阵的个数为 (A)1:(B)2:(C)3:(D)4 13.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 「10-11「1001 -135 14.下列矩阵中，A和B相似的是 「2011「200] (A)A=000,B=001 000000
9.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 2 , , A A 线性无关，而 3 3 2 2 A A A ，那么矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量是 （A） ；（B） A 2 ；（C） 2 A A ；（D） 2 A A 2 3 。 10.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1,3，‐2，相应的特征向量依次为 123 , , ，若 13 2 P [ ,2 , ] ，则 1 P AP （A） ；（B） 1 2 3 1 4 3 ；（C） 1 2 3 ；(D) 1 3 2 . 11.已知 1 1 5 5 P AP ，1是矩阵 A 属于特征值 1的特征向量，2与3 是 矩阵 A 属于特征值 5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是 （A） 1 23 , , ; （B） ; 12 32 3 , ,2 （C） 132 , , ; （D） ; 1 21 23 , , 12.已知矩阵 1 2 0 3 A ，那么下列矩阵中 （1） （2） ，（3） 1 5 , 0 3 3 0 6 1 1 2 4 3 ，（4） 2 1 1 2 ，与矩阵 A 相似的矩 阵的个数为 （A）1；（B）2；（C）3；（D）4. 13.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A） ；（B） ；（C） 10 1 023 13 5 100 230 1 5 1 10 1 2 0 2 30 3 ；（D） 。 123 013 001 14.下列矩阵中，A 和 B 相似的是 （A） ； 201 200 0 0 0, 0 0 1 000 000 A B