Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chapter 1 Compl R2K (a)川<R (b)|z> (c)R1<|z!<R2 (d)61<argz<82 (e)Imz>0 (f)|2<R.Imz>0 几个典型的区域(阴影在边界外侧) 2.复变函数: (1)复变函数定义:若对于复平面上区域D中的每一个复数z,按照 定规律,都有一个(或几个)复数值w与之相对应,则称v为 z的复变函数(单值函数(或多值函数)),区域D称为定义域。 复变函数有两种表示形式: W=f(=),(z=x+,=5+in), =l(x,y)+n(x,y),[(u,v)均为实变量(x,y)的二元实函数] 例如 (1)w=z+b平移变换 (2)w=ez旋转变换 (3)=r缩放变换 (4)v=az+b设a=re, 三步:1旋转θ;2/缩放r;3/平移b (5)w=R2/z(广义)反演变换。如果R==|,则w=R2/ 就是z的复共轭;如果R与||是相同的量纲(例如长度), 则W亦具有相同的量纲
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 6 2. 复变函数： （1） 复变函数定义：若对于复平面上区域 D 中的每一个复数 z ，按照 一定规律，都有一个（或几个）复数值 w 与之相对应，则称 w 为 z 的复变函数 (单值函数（或多值函数）)，区域 D 称为定义域。 复变函数有两种表示形式： w f z, （ z x iy,w i ）, w u(x, y) iv(x, y) , [ ( , ) u v 均为实变量 ( , ) x y 的二元实函数]。 例如： （1） w z b 平移变换 （2） w e z i 旋转变换 （3） w rz 缩放变换 （4） w az b 设 i a re ， 三步：1/旋转 ；2/缩放 r ；3/平移 b . （5） w R z 2 （广义）反演变换。如果 R z | |,则 w R z 2 就是 z 的复共轭；如果 R 与 | | z 是相同的量纲（例如长度）， 则 w 亦具有相同的量纲
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chap (2)复变函数的极限:设二0是函数f()的定义域内的一点,如果对 VE>0,都彐δ>0,(隐含o(E),(二0)和E(=0))使得对于任意满足条 件0<-=01<6的复数z,都有()-A<E,那么复数A(有限)称 为函数=f()当z趋于二0时的极限,记为mf(x)=A.如果复数A 无限,则称函数f(=)在z0处发散( divergence)。设 f(=)=l(x,y)+m(x,y),A x+,则 Im u(x, y) lim f(=)=A512) lim v(, y)=vo (3)复变函数的连续与一致连续:E,彐0>0,当-0<6,恒有 ()-f(=0)<E,那么称函数w=/()在点=连续(在点二邻域 连续)[等价定义:设-0是函数f()的定义域内的一点 imf(x)=f(=0),那么称函数w=/()在点连续], 如果函数w=f()在区域D上的每一点都连续,则称函数 w=f(-)在区域D上是连续的 注:f()=(xy)+n(xy)在=0=x+D处连续(xy)均在 v(x (x0,y)处连续。 vE,36>0,对任何=∈D,只要-=0<6,且∈D,恒有 (-)-f(=0)<E,那么称函数w=f()在D上一致连续 [等价定义:如果VE,彐6>0,只要1-2<6,=,=2∈D 恒有(=)-f(=2)<E,那么称函数=f(2)在D上一致连续] 注:*函数f()在区域D上一致连续,一定在D上连续
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 7 (2) 复变函数的极限：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，如果对 0 ，都 0 ，（隐含 ( ) ， 0 ( ) z 和 0 ( ) z ）使得对于任意满足条 件 0 z z0 的复数 z ，都有 f (z) A ，那么复数 A （有限）称 为函数 w f z 当 z 趋于 0 z 时的极限，记为 f z A z z lim ( ) 0 . 如果复数 A 无 限 ， 则 称函数 f (z) 在 0 z 处 发 散 （ divergence ）。 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)， 0 0 A u iv ， 0 0 0 z x iy ，则 0 0 lim ( , ) lim ( , ) lim ( ) 0 0 0 0 0 v x y v u x y u f z A y y x x y y x x z z . (3)复变函数的连续与一致连续： ， 0 ，当 z z0 ，恒有 ( ) ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w f z 在点 0 z 连续（在点 0 z 邻域 连续） [等价定义：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点， lim ( ) ( ) 0 0 f z f z z z ，那么称函数 w f z 在点 0 z 连续]， 如果函数 w f z 在区域 D 上的每一点都连续，则称函数 w f z 在区域 D 上是连续的。 注： f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 处连续 ( , ) ( , ) v x y u x y 均在 ( , ) 0 0 x y 处连续。 ， 0 ，对任何 z0 D ，只要 z z0 ，且 z D ，恒有 ( ) ( ) 0 f z f z ，那么称函数 w f z 在 D 上一致连续 [等价定义：如果 ， 0 ，只要 z1 z2 ， 1 2 z z, D ， 恒有 ( ) ( ) 1 2 f z f z ，那么称函数 w f z 在 D 上一致连续]。 注：* 函数 f z 在区域 D 上一致连续，一定在 D 上连续
*连续定义中的δ不仅与E有关,还与二0点有关 致连续定义中的δ只与E有关,与二0点无关。 例如,f()=在区域0<<∞上连续,但不一致连续 例:求函数f(x)=2x+y2在0=2i的极限,并判断在该点的连续性 解:因为,{my4(x列=mn,2x=0 因此 l mo. v(x, y)=.mo y y imf(=)=0+14=4,又 f(=0)=f(2)=2 所以,f(=)=2x+y2在二。=2i的极限存在,并连续。 例:求函数f()=2 日)在:0=0的极限,并判断在该点的连续性。 解:设 iy,则 I pixy f()=2()2x2+y2x2+ysu(x,y)+m(x,y),显然, (x,y)=0在(00)点的极限存在并连续 然而,limu(x,y) 不存在,事实上,令 (x,y)→(0 (xy)(0)x2+y2 im、2x(kx) 2k 2k 12+k2,对于不同A k (x10)x2+y2x0,0x2+(kx)2x0012+k2 值,极限不同,故知u(x,y)在(00)点的极限不存在。 所以,f(=)= 在二0=0的极限不存在 2i(2z (4)复变函数的导数:设二0是函数f(=)的定义域内的一点,当z 在〓0的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点二0时,即当
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 8 **连续定义中的 不仅与 有关，还与 0 z 点有关。 一致连续定义中的 只与 有关，与 0 z 点无关。 例如， z f z 1 ( ) 在区域 0 z 上连续，但不一致连续。 例：求函数 2 f (z) 2x iy 在 z 2i 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：因为， lim ( , ) lim 4 lim ( , ) lim 2 0 2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 , 0,2 v x y y u x y x x y x y x y x y ，因此， f z i i x y lim ( ) 0 4 4 , 0,2 ，又 f (z ) f (2i) 2x iy 4i 2 0 所以， 2 f (z) 2x iy 在 z 2i 0 的极限存在，并连续。 例：求函数 z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 0 的极限，并判断在该点的连续性。 解：设 z x iy ，则 ( , ) ( , ) 4 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 u x y iv x y x y xy x y ixy z i z z z i f z ，显然， v(x, y) 0 在 (0,0) 点的极限存在并连续， 然而， 2 2 , 0,0 , 0,0 2 lim ( , ) lim x y x y u x y x y x y 不存在，事实上，令 y kx ，有 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 , 0,0 1 2 1 2 lim 2 ( ) lim 2 lim k k k k x k x x k x x y xy y kx x y kx x y x ，对于不同 k 值，极限不同，故知 u(x, y) 在 (0,0) 点的极限不存在。 所以， z z z z i f z 2 1 ( ) 在 z0 0 的极限不存在。 （4） 复变函数的导数：设 0 z 是函数 f (z) 的定义域内的一点，当 z 在 0 z 的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点 0 z 时，即当
Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chapter 1 Compl A=2=.0时,若极限lnf(=0+4)-/=具 有同一有限值,则称函数f(x)在点二0可导,称此极 限值为f()在=的导数,记为/(=)或( 注意:*与A2→0的方式无关 求导f(x)最多有两个方向,而v()可有∞多个方向。 *O(x,y)/ax是偏导,d(x+)/d是全导。 (5)复变函数可导的必要条件一 Cauchy- Riemann(C-R)条件: 设f()=(x,y)+n(x,y)在 二0=x+0点可导,则v(x,y),(x,y)在(x0,y)处必定满足 Ou(x,y) av(x, y) (x,y) (x0,) 证明:f(x)=u(x,y)+n(x,y)在〓0=x+仍点可导,根据定义, f(=0+△)-f(=0) 存在,并且与z→z0的路径无关 下面选择两个特殊路径 首先沿平行于实轴的直线(即y=y为常数), 二=x+0,A=A ln(=n+A)-/(= =mn[(x+4)-a(x)+x+Ax,) Ax △x x,] 然后沿平行于虚轴的直线(即x=x为常数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 9 z z z0 0 时，若极限 z f z z f z z 0 0 0 ( ) lim 具 有同一有限值，则称函数 f (z) 在点 0 z 可导，称此极 限值为 f (z) 在 0 z 的导数，记为 ( ) 0 f z 或 0 d d ( ) z z z f z . 注意:* 与 z 0 的方式无关; **求导 f x'( ) 最多有两个方向，而 w z'( ) 可有 多个方向。 *** u x y x ( , )/ 是偏导，df x iy dz ( )/ 是全导。 （5） 复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件： 设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 点可导，则 u(x, y) , v(x, y) 在 0 0 x , y 处必定满足 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y y u x y x v x y y v x y x u x y . 证明： f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 0 0 0 z x iy 点可导,根据定义， z f z z f z z 0 0 0 ( ) lim 存在，并且与 0 z z 的路径无关。 下面选择两个特殊路径： 首先沿平行于实轴的直线（即 0 y y 为常数）， 0 z x iy ,z x , ; ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) , lim ( ) lim 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y x z x v x y i x u x y x v x x y v x y i x u x x y u x y z f z z f z 然后沿平行于虚轴的直线（即 0 x x 为常数）