单输入系统极，点配置的算法归纳 单输入系统极，点配置是已知能控的4，b),和一组期望特 征值（不石，），求1×n实向量k,使(A+bk)的特征值为 (元元2.…，元n)。 ①计算△()=det(sl-4A)=s”+a1s-+…+an-1s+an ② 计算期望的(s)=(s-万5-元)…(s-万)=s”+as-+…+an-1s+an 计算k=[K飞…]=[a-a。a-an-a-a] ④ 求能控标准型等价变换阵Q及P-Q ⑤计算k=[kk2…k]=P
单输入系统极点配置的算法归纳 单输入系统极点配置是已知能控的 , 和一组期望特 征值 ，求 实向量 ，使 的特征值为 。 （A, b） ( , ) λ1, λ 2, L λ n ( , ) 1 × n (A + bk) λ1, λ 2, L λ n ① 计算 n n n n Δ s = s − = s + α s + + α − s + α − 1 1 1 ( ) det( I A) L ② 计算期望的 n n n n n Δ s = s − λ s − λ s − λ = s + α s + + α − s + α − 1 1 1 2 1 ( ) ( )( )L( ) L ③ 计算 [ ] [ ] = 1 2 = α − α α −1 − α −1 α1 − α1 k k k L kn n n n n L ④ 求能控标准型等价变换阵 及Q −1 P = Q ⑤ 计算 k = [ k1 k 2 L k n ] = k P k
状态反馈系统的传递函数 式(6一25)能控标准型的传递函数为 8的)=Bs+-2++B-s+E2 s”+4sn+…+an-ls+an (6-37) 以(6一32)为状态反馈阵的状态反馈系统其传递函数为 8=s+4s-2++B5+E。 s”+1s”+…+☑n-1S+an (6-38) 由以上两式可见，状态反馈可改变系统传递函数的分母 多项式（特征多项式），但不能改变分子多项式。换句话 说，状态反馈可改变系统的极，点，而不改变系统的零点， 除非期望极，点中出现能与零，点抵消的情况。此时，也只减 少了零点的数量，但仍不会改变零，点的位置。此结论也适 用于所有状态反馈算法
状态反馈系统的传递函数 式（6－25）能控标准型的传递函数为 以（6－32）为状态反馈阵的状态反馈系统其传递函数为 n n n n n n n n s s s s s s g s α α α β β β β + + + + + + + + = − − − − − 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) L L （6－37） n n n n n n n n s s s s s s g s α α α β β β β + + + + + + + + = − − − − − 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) L L （6－38） 由以上两式可见，状态反馈可改变系统传递函数的分母 多项式（特征多项式），但不能改变分子多项式。换句话 说，状态反馈可改变系统的极点，而不改变系统的零点， 除非期望极点中出现能与零点抵消的情况。此时，也只减 少了零点的数量，但仍不会改变零点的位置。此结论也适 用于所有状态反馈算法
3)状态反馈向量k的解析表达式 下面不加证明地介绍两个状态反馈向量k的解析表达式。 ① 巴斯一格拉（Bass-Gura）公式 设原系统的特征多项式为 4(s)=s”+a4sn-l+…+&m-1S+an (6-39) 期望的特征多项式为 4(s)=s”+s”-1+…+am-1S+an (6-40) 引入向量 a=[a a2...an] (6-41) a=[a1a2…an] (6-42) 原系统能控性矩阵 U=[bAb…A"-b] (6-43)
⑶ 状态反馈向量 的解析表达式 k ① 巴斯－格拉（ ）公式 Bass −Gura 下面不加证明地介绍两个状态反馈向量 的解析表达式。 k 设原系统的特征多项式为 n n n n Δ s = s + α s + + α − s + α − 1 1 1 ( ) L 期望的特征多项式为 n n n n Δ s = s + α s + + α − s + α − 1 1 1 ( ) L （6－39） （6－40） 引入向量 [ ] α = α1 α 2 L α n [ ] α = α1 α 2 L α n （6－41） （6－42） 原系统能控性矩阵 [ ] 1 U b Ab A b − = L n （6－43）
如果原系统能控，是非奇异的，则计算状态反馈向量k 的巴斯一格拉公式为 k=(a-a)Q-U-I (6-44) 式中，0是下三角阵 1 0 0 a1 1 0= C :.: (6-45) 0-2 0 an-1 an-2 al 而 Q4[g7 (6-46) (证略)
如果原系统能控， 是非奇异的，则计算状态反馈向量 的巴斯－格拉公式为 U k 1 ( ) − − k = α − α Q U T （6－44） 式中， 是下三角阵 Q ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − 1 0 1 1 0 0 1 2 1 2 1 1 α α α α α α L O O M O O M O M L L n n n Q （6－45） 而 T T [ ] −1 Q Δ Q （6－46） （证略 ）
②阿克曼（Ackermann）公式 设期望的特征多项式为 4(s）=s”+a1sm-1+…+an-1+an 相应的方阵多项式为 (A)=A”+a1A"-1+…+n-1A+anI (6-47) 则计算状态反馈向量k的阿克曼公式为 k=gn(A) (6-48) 式中 qa=[0…01]0- (6-49) 即q是U的最后一行，U是原系统的能控性矩阵。 (证略)
② 阿克曼（ ）公式 Ackermann 设期望的特征多项式为 n n n n Δ s = s +α s + +α − s +α − 1 1 1 ( ) L 相应的方阵多项式为 A A A A I n n n n Δ = +α + +α − +α − 1 1 1 ( ) L （6－47） 则计算状态反馈向量 的阿克曼公式为 k k q Δ (A) T = n （6－48） 式中 1 [ 0 0 1] − qn = L U T （6－49） 即 是 的最后一行， 是原系统的能控性矩阵。 （证略） T qn −1 U U