则 A-BK= A.-B.K An2-B.K: (6-20) 0 A 可见，状态反馈只能配置系统能控部分A的特征值，而不能 改变系统不能控部分A的特征值。证明了要配置系统的所有 特征值，系统必须是完全能控的。 充分性：可以从下面的算法中证明。 证毕
可见，状态反馈只能配置系统能控部分 的特征值，而不能 改变系统不能控部分 的特征值。证明了要配置系统的所有 特征值，系统必须是完全能控的。 Ac Ac 充分性：可以从下面的算法中证明。 证毕 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = c c c c 0 A A B K A B K A B K 1 12 2 则 （6－20）
6.4.2单输入系统的极，点配置算法 (1)能控标准型算法 单输入系统(4，b)是能控的，必能通过u=r-x(k是1×n 行向量)任意配置全部特征值。共轭特征值必须成对配置。 设：单输入系统的状态方程为 E1: 文=Ax+bu (6-21) y=cx+du k△[kk2…knJ (6-22) A的特征多项式是 △(s)=det(sl-A)=s"+a1s+…+an-1S+an (6-23) 式中，a,eR(实域)，i=1,2,…,n,的特征值中如有复根必定 是成对的共轭复根
⑴ 能控标准型算法 单输入系统 是能控的，必能通过 （ 是 行向量）任意配置全部特征值。共轭特征值必须成对配置。 (A,b) u = r－kx k 1× n 设：单输入系统的状态方程为 y du u = + = + cx Σ : x& Ax b 1 （6－21） [ ] 1 2 n k Δ k k Lk （6－22） A 的特征多项式是 n n n n Δ s = s − = s +α s + +α − s +α − 1 1 1 ( ) det( I A) L （6－23） 式中， (实域)， ，的特征值中如有复根必定 是成对的共轭复根 ∀α i ∈R i = 1, 2 ,L , n 6.4.2 单输入系统的极点配置算法
(A,b)能控，通过等价变换x=P可以将，变换成能控标准 型 : 元=Ax+bu y=Cx (6-24) 式中，A=PAP1,i=Pb 0 1 0 0 0 .: A= .: 0 0 0 1 -an a (6-25) 0 b= :: c=[BnB-……B] 0
能控，通过等价变换 可以将 变换成能控标准 型 (A, b ) x = Px Σ1 Σ1 c x Σ : x A x b = = + y u & 1 （6－24） 式中， ， [ ] 1 b c A β β β α α α M L L M L L L L M O O O O M L 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = n n n n （6－25） −1 A = PAP b = P b
引入状态反馈u=r-c后的状态方程 Er: =(A-bk)x+br (6-26) 期望的特征多项式为 A(s)=det(sI-(A-bk))=s"+ajs"+...+as+a (6-27) 对E作等价变换x=P,得 元=P(A-bk)P-x+Pbr =(A-bk)x+br (6-28) 式中 E△kP-I (6-29) K也是1xn行向量 k△[kK2…kn] (6-30)
引入状态反馈 后的状态方程 u = r − kx Σ1 : x A bk x b r f & = ( － ) + （6－26） 期望的特征多项式为 n n n n Δ s = s − = s + α s + + α − s + α − 1 1 1 ( ) det( ( )) r I A －bk L （6－27） 对 作等价变换 ，得 Σ1 f x = Px r r f A b k x b Σ1 : x P A bk P x Pb = + = + − ( ) ( ) 1 － & － （6－28） −1 k Δ kP 式中 k也是 行向量 1× n [ ] 1 2 n k Δ k k L k （6－29） （6－30）
等价变换不改变特征值 det(sI-(A-bk))=det(sI-(A-bk))=s"+@js"+...+s+a (6-31) 0 0 0 0 07 0 1 0 0 0 . .· 0 A-bk= 0 :0 0 0 0 0 0 0 1 -an -an-l -Qn -@n-l -1 (6-32) 所以 K=[kk…Kn]-[an-ana-1-a-l…-a] (6-33) 或 (6-34) k=ani-ami-l 对于，，状态反馈向量k等于 k=kP (6-35) 只要状态反馈向量满足式(6一34)，便可将极点配置在所要 求的数值上
等价变换不改变特征值 n n n n s − = s − = s +α s + +α − s +α − 1 1 1 det( I (A－bk )) det( I (A－bk)) L ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡− − − =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡− − − = −1 1 1 2 −1 1 0 0 10 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 00 1 0 0 α α α α α L L α L L M O O O O M L L L L L L M M M M L L L L L L L M O O O O M L n n n n n k k k A－bk － （6－31） 所以 [ ] [ ] = 1 2 = α −α α −1 −α −1 α1 −α1 k k k L kn n n n n L 或 i = n+i−1 − n+i−1 k α α 对于 ，状态反馈向量 等于 Σ1 k k = kP （6－32） （6－33） （6－34） （6－35） 只要状态反馈向量满足式(6－34)，便可将极点配置在所要 求的数值上