6.3状态反馈系统的能控性和能观性 定理6一1状态反馈不改变系统的能控性，即，能控的充分必 要条件是：∑是能控的。但可能改变系统的能观性。 证明：Σ是能控的，由PHB判据 rank[sI-A B]=n s∈C(复域) (6-13) 若Σ，是能控的，必须满足 rank[sI-A+BK B]=n Hs∈C (6-14) 0 [SI-A+BK B]=[sI-A 所以 rank[sI-A B]=n rank[sI-A++BK B]=n VseC (6-15) 定理的第二个结论由下面的例子得论。 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统 的极点，可能出现改变后的极，点与原系统的零点对消的情形。 证毕
6.3 状态反馈系统的能控性和能观性 定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 能控的充分必 要条件是： 是能控的 。但可能改变系统的能观性 。 Σ f Σ 证明： Σ 是能控的，由 判据 rank[ sI − A B] = n ∀ s ∈ C (复域) （6－13） 若 是能控的，必须满足 Σ f rank[ sI − A ＋BK B] = n ∀ s ∈ C （6－14） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − K I I 0 [ sI A BK B] [ sI A B] rank[ sI − A B] = n ⇔ rank[ sI − A ＋BK B] = n 所以 ∀ s ∈ C （6－15） 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统 的极点，可能出现改变后的极点与原系统的零点对消的情形。 定理的第二个结论由下面的例子得论。 PHB 证毕
例6一1考虑系统 y-[2]x 原系统的传递函数为 2s g)=g-2s-5 原系统是既能控又能观的。 引入状态反馈 u=r-[-3 -1]x 引入状态反馈后系统变成 「121.「o1 *-001 y=[12]x
例6－1 考虑系统 [ ] x x x 1 2 1 0 3 1 1 2 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥ + ⎦⎤ ⎢⎣⎡ = y & u 原系统的传递函数为 2 5 2 ( ) 2 − − = s s s g s 原系统是既能控又能观的。 [ ] x x x 1 2 1 0 0 0 1 2 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = y & r 引入状态反馈 u = r－[−3 −1] x 引入状态反馈后系统变成
其能控性矩阵与能观性矩阵分别是 o- 22 rank Ut=2 rank V=1 系统是能控，但不能观的。 引入状态反馈后系统的传递函数为 2s 8k(S)= s(s-1) 它存在s=0对消的零、极，点，所以系统变成不能观的。说 明状态反馈可能改变系统的能观性
引入状态反馈后系统的传递函数为 ( 1) 2 ( ) − = s s s g s k 它存在 对消的零、极点，所以系统变成不能观的。说 明状态反馈可能改变系统的能观性。 s = 0 其能控性矩阵与能观性矩阵分别是 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 2 U f ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 2 2 2 V f = 2 f rank U = 1 f rank V 系统是能控，但不能观的
6.4状态反馈极点配置 这一节研究的是用状态反馈来配置系统极点的条件和极 ,点配置的计算方法，即状态反馈阵K的计算方法。 状态反馈只与状态方程有关，而与系统的输出无关，所 以只研究状态方程即可
6.4 状态反馈极点配置 这一节研究的是用状态反馈来配置系统极点的条件和极 点配置的计算方法，即状态反馈阵 的计算方法。 K 状态反馈只与状态方程有关，而与系统的输出无关，所 以只研究状态方程即可
6.4.1状态反馈极，点配置定理 定理6一2线性定常系统Σ能通过状态反馈任意配置全部特 征值的充分必要条件是系统完全能控。 证明必要性：用反证法。 若(4，)不完全能控，则可通过结构分解得出 B=PB= 对于任一状态反馈K, 可按A和A的维数写成：K=KK] A-BK P-AP-P-BK =P-(A-BKP-)P (6-17) =P-(A-BK)P 式中 KA KP- (6-18) 或 K=区，]=[KP-K,P-] (6-19)
6.4.1 状态反馈极点配置定理 定理6－2 线性定常系统 能通过状态反馈任意配置全部特 征值的充分必要条件是系统完全能控。 Σ 证明 必要性：用反证法。 若 不完全能控，则可通过结构分解得出 (A, b) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = − 0 B B PB 0 A A A A PAP c c 1 c 12 对于任一状态反馈 ，可按 和 的维数写成： [ ] K = K1 K2 P A B K P A BK P A P P BK P A BKP P ( ) ( ) 1 1 1 1 1 = − − = − = − − − − − − 式中 −1 K Δ KP [ ] [ ] 1 2 1 1 2 1 − − 或 K = K K = K P K P K Ac A c （6－19） （6－18） （6－17）