S9.2标准正交基正交向量组一、二、标准正交基及其性质三、标准正交基的求法四、正交矩阵
二、标准正交基及其性质 §9.2 标准正交基 三、标准正交基的求法 四、正交矩阵 一、正交向量组
1.设V为欧氏空间,非零向量αj,α2,…,αmEV如果它们两两正交，则称之为正交向量组注：①若α0，则α是正交向量组②正交向量组必是线性无关向量组
1.设Ｖ为欧氏空间,非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
证：设非零向量α,αz,,αmEV两两正交令 k,α, +k,α, +...+kmαm=0, k, ER,mm,Zk;α,)=k;(α,α,)= k;(α,α,)=0则(α;) j=1j=1由α; ±0知(α;,α,)>0,.. k, =0, i=1,2,...,m.故αα2",αm线性无关
证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组3.如 R3 中,α =(1,1,0)， αz =(1,0,1) 线性无关.：(αj,α)=1±0但α1,α不是正交向量组。n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. 1 2 如 中， (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.
二、标准正交基及其性质1.引入在几何空间中，i= (1,0,0),, k=(0,0,1)， j=(0,1,0),是由单位向量构成的正交向量组，即(i,j) =(i,k) =(k,i) = 0,[=1i,j,K是 R 的一组基
1. 引入 在几何空间中， i j k (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k 二、标准正交基及其性质