2）定义(α,β)'= a,b, +2a,b, +...+ ka,bk +...+na,b易证(α,β)满足定义中的性质 1～ 4°所以（α，β)也为内积.从而Rn对于内积(α,β)也构成一个欧氏空间注： 由于Vα·βV,未必有 (α,β)=(α,β)所以1），2）是两种不同的内积从而R"对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间
2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n a b a b ka b na b 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , ) 由于 V, 未必有 ( , ) ( , ) 注： 所以1）,2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～ . 所以 ( , ) 也为内积
例2.C(a,b)为闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f(x),g(x)定义(,g) = (° f(x)g(x) dx(2)则 C(a,b)对于（2）作成一个欧氏空间证: Vf(x), g(x), h(x)eC(a,b), Vke R1. (f,g) = (" f(x)g(x) dx = (" g(x)f(x) dx =(g, J)2°. (kf,g) = (" kf(x)g(x) dx = k[" (x)g(x) dx= k(f,g)
例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f 2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx k f g ( , )
3. (f + g,h) =["(f(x)+ g(x)h(x) dx= J" f(x)h(x) dx+ J g(x)h(x) dx=(f,h)+(g,h)4°. (f,J)= f" f(x) dx.:. (f,f)≥0.: f(x)≥0,且若 f(x)±0，则 f2(x)>0,从而 (f,f)>0.故(f,)=0台f(x)=0.因此，（f,g)为内积，C(a,b)为欧氏空间
3 . ( , ) ( ) ( ) ( ) b a f g h f x g x h x dx ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x h x dx g x h x dx ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx 2 f x( ) 0, ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0, 则 2 f x( ) 0, 从而 ( , ) 0. f f 故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x 因此，( , ) f g 为内积， C a b ( , )为欧氏空间
3、内积的基本性质1、V为欧氏空间，α,β,V,VkR1) (α,kβ)=k(α,β), (kα,kβ)=k'(α,β)2) (α,β+)=(α,β)+(α,)推广：(α,β)=(α,β,)i=1i=13)(0,β)= 0
2 1) ( , ) ( , ), , ( , ) k k k k k 2) ( , ) ( , ) ( , ) 推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i 3) (0, ) 0 3、内积的基本性质 1、V为欧氏空间， , , , V k R
二欧氏空间中向量的长度1．引入长度概念的可能性1）在R3向量α的长度（模）α=α·α2）欧氏空间V中，α,V，（(α,α)≥0使得Vα·α有意义2.．向量长度的定义Vα,eV, α= /(α,α)称为向量α的长度特别地，当α=1时，称α为单位向量
2) 欧氏空间V中， , , ( , ) 0 V 使得 有意义. 二. 欧氏空间中向量的长度 1）在 向量 的长度（模） . 3 R 2. 向量长度的定义 , , ( , ) V 称为向量 的长度. 特别地，当 1 时，称 为单位向量. 1. 引入长度概念的可能性