二、后退欧拉格式 1。格式 y(x,)=/[x2y(xn) y(xn)=lim y(rm-y(x, -h y(xn)-y(x-h h->0 h h 故有y(xn)≈y(xn)+f[xn,y(x) 用近似值代替,有 n=yn1+1(xn,yn)(n=1,2,…,K)
二、后退欧拉格式 y x f x y x ( ) , ( ) n n n = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim n n n n n h y x y x h y x y x h y x → h h − − − − = 故有 y x y x hf x y x ( ) ( ) , ( ) n n n n + −1 1. 格式 用近似值代替, 有 1 ( , ) ( 1,2, , ) n n n n y y hf x y n K = + = −
2。几何意义 y Vn i y=y(r) n +1
2. 几何意义 x y O y = y (x) xn xn+1 yn
例:分析后退欧拉方法的精度。 解:在假设=y(x)(=0,1,…,n)下,格式 可写为 yn-1=yn+hf(rn l,ym-1)=y(x)+hy (rn-1) =y(x)+hly(*,)+hy(s]*, <5<rn+ 由泰勒公式 分n)=y(xn+h =y(x)+y(x)+2y(,x<<xn 所以R1=y(xn1)-yn1=O(h2)
例: 分析后退欧拉方法的精度。 解: 在假设yi = y(xi )(i=0, 1, ..., n)下, 格式 可写为 ( ) 1 1 1 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . n n n n n n n n n n y y hf x y y x hy x y x h y x hy x x + + + + + = + = + = + + 由泰勒公式 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2 n n n n n n y x y x h h y x hy x y x x + + = + = + + 所以 2 1 1 1 ( ) ( ) R y x y O h n n n + + + = − =
3.求解方法。选代法 yH1=n+(xm,ym)(m=0,…,K-1) (1)用向前欧拉法提供选代初值 y=yn+的f(x,yn) (2)选代 y(+)=yn+(xm1,y1,(k=0,2,…) (k+1) 直到yn <8
3. 求解方法——迭代法 1 1 1 ( , ) ( 0,1, , 1) n n n n y y hf x y n K + + + = + = − (1) 用向前欧拉法提供迭代初值 ( ) (0) 1 , n n n n y y hf x y + = + (2) 迭代 ( 1) ( ) 1 1 1 ( , ),( 0,1,2, ) k k n n n n y y hf x y k + + + + = + = 直到 ( 1) ( ) 1 1 . k k n n y y + + + −
输入a,b,K,Je h=(b-a)/K n=0.1.K-1 后退欧拉法的计算流程 x=ath,y1=yo+hf (,yo) x=x+h, y=yothf(x, y) 当Uy=1|>=e y1=D,y=yo+hf ( x,y1) 0=y,输出x,y 结束
结 束 输入a, b, K, y 0 , e h=( b - a)/K n = 0, 1, ..., K- 1 x = a +nh, y 1 = y 0 +hf (x, y 0 ) x = x + h, y = y 0 +hf (x, y 1 ) 当|y -y 1|>= e y 0 = y, 输出 x, y y 1 = y, y = y 0 +hf (x, y 1 ) 4. 后退欧拉法的计算流程