三、两步欧拉格式 l。格式 y(x,)=/[x2y(xn) y(n)=lim V(x, +h)-v(x-h) y(n+)-V(r,-) h→>0 2h 2h 故有y(xn)≈y(xn1)+2h([xn,y(x) 用近似值代替,有 Vn1=yn1+2f(x2yn)(n=1,2,…,K-1)
三、两步欧拉格式 y x f x y x ( ) , ( ) n n n = 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 2 n n n n n h y x h y x h y x y x y x h h + − → + − − − = 故有 y x y x hf x y x ( ) ( ) 2 , ( ) n n n n + − 1 1 + 1. 格式 用近似值代替, 有 1 1 2 ( , ) ( 1,2, , 1) n n n n y y hf x y n K + − = + = −
2。几何意义 y J y=y(x Xn-1 n +1
2. 几何意义 x y O y = y (x) xn-1 xn xn+1 yn-1
3 精度 yn1=yn1+2f(x2yn)=y(xnh)+2hy(xn) h v(,)+hy(,)+y(x)=y(s V(n+=y(x,+h h2 V(x,)+hy(x)+y(x,)+yn 其中5∈(x212xn),7∈(x2,xm) 所以Rn1=y(xn1)-yn1=O(h)
3. 精度 1 1 2 3 2 ( , ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 n n n n n n n n n y y hf x y y x h hy x h h y x hy x y x y + − = + = − + = + + − 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 n n n n n y x y x h h h y x hy x y x y + = + = + + + 其中 1 1 ( , ), ( , ) n n n n x x x x − + 所以 3 1 1 1 ( ) ( ) R y x y O h n n n + + + = − =
输入a,b,Ky h=(b-a)/K, y1yo+hf(a,yo) 两步欧拉法的计算流程 2 9·。 K-1 x=anh J=J0+2 Chf (, yu) Vo= V1,V1=y 输出x+h,y 结束
结 束 输入a, b, K, y0 h=(b-a)/K, y1=y0+hf (a, y0 ) n = 1, 2, ..., K-1 x = a+nh y = y0+2hf (x, y1 ) 输出 x+h, y y0 = y1 , y1 = y 4. 两 步 欧 拉 法 的 计 算 流 程
3.2改进的欧拉方法 一、梯形格式 1。格式构造 向前欧拉法:yn1=yn+hf(xn2yn) 后退欧拉法:yn1=Vn+bf(xn12yn) 取2者的算术平均,结果应更好 ym=yn+aIf(m yn)+f(r ) 2 n+15n+1
3.2 改进的欧拉方法 一、 梯形格式 1. 格式构造 向前欧拉法： 后退欧拉法： 1 ( , ) n n n n y y hf x y + = + 1 1 1 ( , ) n n n n y y hf x y + + + = + 取2者的算术平均, 结果应更好 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 n n n n n n h y y f x y f x y + + + = + +