用近似值代替,有 V1=yn+f(x,yn)(n=0,1,…,K-1) 2.局部鐵断误差与方法的精度 对某种数值方法,假设其前步计 算都是精确的,即y1=y(x(=0,1,…,m) 在此假设下,用该方法计算出第+1个 点上的近似值ym+1,称Rn+1=y(xm+1)-m1 为局部截断误差。 如果某种方法的局部截断误差为 O(1),则称此方法为p阶度
用近似值代替, 有 1 ( , ) ( 0,1, , 1) n n n n y y hf x y n K + = + = − 2. 局部截断误差与方法的精度 对某种数值方法, 假设其前n步计 算都是精确的, 即yi = y(xi )(i=0, 1, ..., n). 在此假设下, 用该方法计算出第n+1个 点上的近似值yn+1, 称Rn+1 = y(xn+1)-yn+1 为局部截断误差. 如果某种方法的局部截断误差为 O(h p+1), 则称此方法为p阶精度
n+1 n+1-- y(n+d y=y(x) co x .. u x n n+1
x y O y = y (x) x0 x1 … xn xn+1 … … yn+1 y(xn+1) Rn+1
例:分析向前欧拉方法的精度。 解:在假设=y(x)(=0,1,…,n)下,欧批 格式可写为 m+i=yn+hf(r, y, v(,)+hfli,y(rm)=y(x, )+hy(rn 由泰勒公式 分n)=y(xn+h y(x, )+hy (x,)+y(5), xn<5<xn+ h 所以R1=y(xn1)-y=y(5)=O(h)
例: 分析向前欧拉方法的精度。 解: 在假设yi = y(xi )(i=0, 1, ..., n)下, 欧拉 格式可写为 ( ) 1 , ( ) , ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n y y hf x y y x hf x y x y x hy x + = + = + = + 由泰勒公式 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2 n n n n n n y x y x h h y x hy x y x x + + = + = + + 所以 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 n n n h R y x y y O h + + + = − = =
3.欧拉法的几何意义 y 体截断误差 y=y(c) O1 Xo x1 x2 x 3
3. 欧拉法的几何意义 x y O y = y (x) x0 x1 x2 x3 … 整体截断误差
4.欧拉法的计算流程 输入a,b,Ky h=(b-a)/K,y=yo n=0, K-1 x=a+nh, y=y+hf(x, y) 输出x+h,y 结東
输出 x+h, y 结 束 输入a, b, K, y0 h=(b-a)/K, y = y0 n = 0, 1, ..., K-1 x = a+nh, y = y+hf (x, y) 4. 欧拉法的计算流程