证(1)由∑b(x)在D上的一致收敛性,对任意给定的E>0,存 n=1 在正整数N=M(),使得 ∑b(x)<E 对一切m>n>N与一切x∈D成立。应用Abel引理,得到 2a,(x)b:(xss(I a,(x)|+2 1 am(x)1 )s3Me 对一切m>n>N与一切x∈D成立,根据 Cauchy收敛原理(定理102.1), ∑a(x)b,(x)在D上一致收敛。这就证明了Abel判别法。 n=1
证 ⑴ 由 =1 ( ) n n b x 在 D 上的一致收敛性，对任意给定的 0，存 在正整数 N = N( )，使得 = +1 ( ) k n k b x 对一切 m n N 与一切 xD 成立。应用 Abel 引理，得到 = + m k n k k a x b x 1 ( ) ( ) (│ ( ) 1 a x n+ │+ 2│am (x)│) 3M 对一切 m n N 与一切 xD 成立，根据 Cauchy 收敛原理(定理 10.2.1)， =1 ( ) ( ) n n n a x b x 在 D 上一致收敛。这就证明了 Abel 判别法
(2)由{a(x)}在D上一致收敛于0,对任意给定的E>0,存在正 整数N=N(),当n>N时,对一切x∈D成立 an(x)|<E。 由于对一切m>n>N, ∑b(x)=∑b(x)-∑b(x)≤2M k=nt 应用Abel引理,得到 a(x)1(82M/(|an1()|2 <6M k=n+1 对一切x∈D成立。根据 Cauchy收敛原理(定理10.21),∑an(x)b,(x) 在D上一致收敛。这就证明了 Dirichlet判别法。 注在定理10.23的两个判别法的条件中,都要求{an(x)}关于n 单调,请读者思考是什么原因
⑵ 由{an (x)}在 D 上一致收敛于 0，对任意给定的 0，存在正 整数 N = N( )，当 n N 时，对一切 xD 成立 │an (x)│ 。 由于对一切 m n N， = + m k n k b x 1 ( ) = − = m k k b x 1 ( ) = n k k b x 1 ( ) 2M， 应用 Abel 引理，得到 = + m k n k k a x b x 1 ( ) ( ) 2M (│ ( ) 1 a x n+ │+2│am (x)│) 6M 对一切 xD 成立。根据 Cauchy 收敛原理(定理 10.2.1)， =1 ( ) ( ) n n n a x b x 在 D 上一致收敛。这就证明了 Dirichlet 判别法。 注 在定理 10.2.3 的两个判别法的条件中，都要求{an (x)}关于 n 单调，请读者思考是什么原因
例10.2.4设∑a收敛,则∑anx在O.1上一致收敛 n=1 证显然{x"}关于n单调,且 x"|≤1,x∈[0,I 对一切n成立;∑an是数项级数,它的收敛性就意味着关于x的一致 收敛性。由Abel判别法,得到∑anx在o上的一致收敛性。 特别地,如∑x”(p>0)在[上一致收敛 =1
例 10.2.4 设 n=1 an 收敛，则 n=1 an x n 在[0,1]上一致收敛。 证 显然{x n }关于 n 单调，且 │x n │ 1, x [0,1] 对一切 n 成立； n=1 an 是数项级数，它的收敛性就意味着关于 x 的一致 收敛性。由 Abel 判别法，得到 n=1 n n a x 在[0,1]上的一致收敛性。 特别地，如 n n p n x n = − 1 ( 1) （ p 0 ）在 [0,1] 上一致收敛
例10.2.5设{an}单调收敛于0,则∑ a. cosnx与∑ a. sin nx在 (0,2x)上内闭一致收敛。 证数列{an}收敛于0意味着关于x一致收敛于0。另外,对任 意0<6<π,当x∈[o,2π-时 sin n+=lx-sin cOS Kx 2sin sIn cos n+-lx-coS sin hx SIn 由 Dirichlet判别法,得到∑ a. cos nx与∑a,smmx在[,2兀-6上的一致 =1 收敛性
例 10.2.5 设{an}单调收敛于 0， 则 =1 cos n an nx 与 =1 sin n an nx 在 (0, 2π)上内闭一致收敛。 证 数列{an}收敛于 0 意味着关于 x 一致收敛于 0。另外，对任 意0 π，当 x [ ,2 π − ]时， = n k kx 1 cos = 2 2 sin 2 sin 2 1 sin x x n x − + 2 sin 1 ； = n k kx 1 sin = 2 2 sin 2 cos 2 1 cos x x n x − + 2 sin 1 。 由 Dirichlet 判别法，得到 =1 cos n an nx 与 =1 sin n an nx 在[ ,2 π − ]上的一致 收敛性
致收敛级数的性质 定理10.2.4(连续性定理)设函数序列{S(x)}的每一项SAx) 在[a,b]上连续,且在[a,b上一致收敛于Sx),则S(x)在[a,b]上也连 续。 证设x是[an,b中任意一点 由{S(x)}在[a,b]上一致收敛于S(x),可知对任意给定的E>0,存 在正整数N,使得 I SM(x)=S(x) 对一切x∈[a,b成立。特别,对x0与任意的x0+h∈[a,b,成立 I SMxo-S(xo)<2, I SN(xo+h)-S(xo+h)I<E
一致收敛级数的性质 定理 10.2.4 （连续性定理） 设函数序列{Sn (x)}的每一项 Sn (x) 在[a, b] 上连续，且在[a, b]上一致收敛于 S(x)，则 S(x)在[a, b] 上也连 续。 证 设 0 x 是[a, b]中任意一点。 由{Sn (x)}在[a, b]上一致收敛于 S(x)，可知对任意给定的 0，存 在正整数 N，使得 │SN(x)-S(x)│ 3 对一切 x[a, b]成立。特别，对 0 x 与任意的 0 x +h[a, b]，成立 │SN( 0 x )-S( 0 x )│ 3 ， │SN ( 0 x +h)-S( 0 x +h)│ 3