习题24.2复习巩固1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=7,b=24,c=25;(2)a=/41,b=4,c=5;3-号, -1, -(3)a=4(4)a=40，b=50,c=60.2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等：（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.3.小明向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后是向哪个方向走的？综合运用4.在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12.求AC.5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC4，CD=12，AD=13，/B=90°求四边形ABCD的面积1-E（第5题）（第6题）16.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD4求证LAEF=90°拓广探索7.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？14第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 习题２４．２ １．判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不是直角三角形： （１）犪＝７，犫＝２４，犮＝２５； （２）犪＝ ４１槡 ，犫＝４，犮＝５； （３）犪＝５ ４，犫＝１，犮＝３ ４； （４）犪＝４０，犫＝５０，犮＝６０． ２．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ （１）同旁内角互补，两直线平行； （２）如果两个角是直角，那么它们相等； （３）全等三角形的对应边相等； （４）如果两个实数相等，那么它们的平方相等． ３．小明向东走８０ｍ后，沿另一方向又走了６０ｍ，再沿第三个方向走１００ｍ回到原 地．小明向东走８０ｍ后是向哪个方向走的？ ４．在△犃犅犆中，犃犅＝１３，犅犆＝１０，犅犆边上的中线犃犇＝１２．求犃犆． ５．如图，在四边形犃犅犆犇 中，犃犅＝３，犅犆＝４，犆犇＝１２，犃犇＝１３，∠犅＝９０°．求 四边形犃犅犆犇 的面积． B A C D （第５题） A D B CE F （第６题） ６．如图，在正方形犃犅犆犇 中，犈 是犅犆的中点，犉 是犆犇 上一点，且犆犉＝１ ４犆犇． 求证∠犃犈犉＝９０°． ７．我们知道３，４，５是一组勾股数，那么３犽，４犽，５犽 （犽是正整数）也是一组勾股 数吗？一般地，如果犪，犫，犮是一组勾股数，那么犪犽，犫犽，犮犽 （犽是正整数）也 是一组勾股数吗？ ４１
2阅读与思考费马大定理根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长α，b和斜边长c都是含三个未知数的方程12十y2=~2的一组解，而每一组勾股数（例如，3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解.高于二次的方程十3=，十=，十=，…是否也有正整数解呢？这个问题引起了法国数学家费马的研究兴趣，费马在读古希腊数学家丢番图的《算术》一书时，在有方程?十=？的那页页边上，写下了具有历史意义的一段文字：“……将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的，关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”用数学语言来表述，费马的结论就是：费马（P.deFermat，当自然数n>3时，方程工"十y"一”没有正整数解1601—1665)上述命题被称为“费马大定理”它的证明引起了世界各国数学家的关注，包括欧拉、高斯、勒贝格在内的许多著名数学家都对这个命题作了深入的研究，但一直没能证明它，对费马大定理的研究给数学界带来了很大的影响，很多数学成果、甚至数学分支在这个过程中诞生，费马大定理也因此被数学界称为是一只“会下金蛋的鹅”费马大定理的证明最终由英国数学家怀尔斯完成：怀尔斯在童年时代就梦想能证明费马大定理，后来为此作了长期的努力和准备，1986年，他发现了定理证明的一种可能的途径，就开始全力以赴地投入到定理的证明中，1993年6月，怀尔斯在英国剑桥大学的学术讨论会上报告了他的研究成果，立即引起了全世界数学家和数学爱好者的关注在这以后，他又用了一年多的时间补证了专家小组发现的证明中的蔬漏，并最终于1995年彻底怀尔斯（A.Wiles完成了证明这个有300多年历史的数学难题终于得到解决，1953—)1996年3月，怀尔斯因为他的这一杰出数学成就荣获沃尔夫奖，并于1998年8月荣获菲尔兹特别奖.费马大定理的证明则被称为“世纪性的成就”，并被列入1993年的世界科技十大成就之一,第二十四章勾股定理15
!"#$%&'()* 费马大定理 根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长犪，犫和斜边长犮都是含三个未知数 的方程狓２＋狔２＝狕２的一组解，而每一组勾股数 （例如，３，４，５；５，１２，１３；等）都是 这个方程的正整数解． 费马 （Ｐ．ｄｅＦｅｒｍａｔ， １６０１—１６６５） 高于二次的方程狓３＋狔３＝狕３，狓４＋狔４＝狕４，狓５＋狔５＝ 狕５，.是否也有正整数解呢？这个问题引起了法国数学家费马的 研究兴趣．费马在读古希腊数学家丢番图的 《算术》一书时，在 有方程狓２＋狔２＝狕２的那页页边上，写下了具有历史意义的一段 文字：“.将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可 能的，关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白 的地方太小，写不下．”用数学语言来表述，费马的结论就是： 当自然数狀≥３时，方程狓狀＋狔狀＝狕狀 没有正整数解． 上述命题被称为 “费马大定理”．它的证明引起了世界各国 数学家的关注，包括欧拉、高斯、勒贝格在内的许多著名数学家 都对这个命题作了深入的研究，但一直没能证明它．对费马大定 理的研究给数学界带来了很大的影响，很多数学成果、甚至数学 分支在这个过程中诞生，费马大定理也因此被数学界称为是一只 “会下金蛋的鹅”． 怀尔斯 （Ａ．Ｗｉｌｅｓ， １９５３— ） 费马大定理的证明最终由英国数学家怀尔斯完成．怀尔斯 在童年时代就梦想能证明费马大定理，后来为此作了长期的努力 和准备．１９８６年，他发现了定理证明的一种可能的途径，就开 始全力以赴地投入到定理的证明中．１９９３年６月，怀尔斯在英国 剑桥大学的学术讨论会上报告了他的研究成果，立即引起了全世 界数学家和数学爱好者的关注．在这以后，他又用了一年多的时 间补证了专家小组发现的证明中的疏漏，并最终于１９９５年彻底 完成了证明．这个有３００多年历史的数学难题终于得到解决． １９９６年３月，怀尔斯因为他的这一杰出数学成就荣获沃尔夫奖， 并于１９９８年８月荣获菲尔兹特别奖．费马大定理的证明则被称 为 “世纪性的成就”，并被列入１９９３年的世界科技十大成就 之一． ５１
数学活动活动1如图1，学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了。段，但这条绳子的长度未知，请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案，并与同学交流.图 1活动2用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠，以下各图是按要求拼出的几个图案，请你再给出几种不同拼法.图2图3图4设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，试用两种不同方法计算图2中大正方形（或小正方形）的面积从中你发现勾股定理的证明方法了吗？在拼出的其他图案中再试一试，看看在哪些图案中能用类似的方法证明勾股定理请你从有关书籍或互联网上再找一些证明勾股定理的方法，并与同学交流.16第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 图１ 如图１，学校需要测量旗杆的高度．同学们发 现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一 段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提 出一个解决这个问题的方案，并与同学交流． 图２ 图３ 图４ 用四张全等的直角三角形纸片拼含有正方形的图案，要求拼图时直角 三角形纸片不能互相重叠．以下各图是按要求拼出的几个图案，请你再给 出几种不同拼法． 设直角三角形的两条直角边长分别为犪，犫，斜边长为犮，试用两种 不同方法计算图２中大正方形 （或小正方形）的面积．从中你发现勾股定 理的证明方法了吗？在拼出的其他图案中再试一试，看看在哪些图案中能 用类似的方法证明勾股定理． 请你从有关书籍或互联网上再找一些证明勾股定理的方法，并与同学 交流． ６１
小结一、本章知识结构图互逆定理勾股定理勾股定理的逆定理直角三角形边直角三角形的判定长的数量关系二、回顾与思考直角三角形是特殊的三角形，它的三边之间有特殊的数量关系本章我们通过对面积关系的探究，发现并证明了勾股定理。勾股定理是数学中最重要的定理之一，它反映了直角三角形三边之间的数量关系，不仅在解决与直角三角形相关的问题时很有用，而且在解决其他许多数学问题时也很有用，借助于图形的面积研究相关的数量关系，是我国古代数学研究中经常采用的重要方法，它充分显示了古人的卓越智慧得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立，一般地，原命题成立，逆命题未必成立，而勾股定理的逆命题是一个定理，勾股定理的逆定理提供了直角三角形的一种判定方法：勾股定理及其逆定理，从相反的路径对直角三角形进行了刻画请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系？2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你作判断的依据是什么？4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？5.一个命题成立，它的逆命题未必成立.请举例说明，第二十四章勾股定理17
!"#$%&'()* 小 结 一、本章知识结构图 二、回顾与思考 直角三角形是特殊的三角形，它的三边之间有特殊的数量关系．本章我们 通过对面积关系的探究，发现并证明了勾股定理．勾股定理是数学中最重要的 定理之一，它反映了直角三角形三边之间的数量关系，不仅在解决与直角三角 形相关的问题时很有用，而且在解决其他许多数学问题时也很有用．借助于图 形的面积研究相关的数量关系，是我国古代数学研究中经常采用的重要方法， 它充分显示了古人的卓越智慧． 得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立．一般地，原命题成 立，逆命题未必成立，而勾股定理的逆命题是一个定理．勾股定理的逆定理提 供了直角三角形的一种判定方法．勾股定理及其逆定理，从相反的路径对直角 三角形进行了刻画． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．直角三角形三边的长有什么特殊的关系？ ２．赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ ３．已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你作判断的 依据是什么？ ４．证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？ ５．一个命题成立，它的逆命题未必成立．请举例说明． ７１
复习题24复习巩固1.两人从同一地点同时出发，一人以20m/min的速度向北直行，一人以30m/min的速度向东直行.10min后他们相距多远（结果取整数）？2.如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA=SB，AB是圆锥底面圆O的直径.已知SA=7cm，AB=4cm，求截面△SAB的面积.（第2题）（第3题）（第4题）3.如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是134mm，两孔中心的水平距离是77mm计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）4.如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽a=3m，高b=1.5m，长d=10m.求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）.5一个三角形三边的比为1：3：2，这个三角形是直角三角形吗？6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，同位角相等：（2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；（3）等边三角形是锐角三角形；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等7.已知直角三角形的两条直角边的长分别为2V3十1和2/3一1，求斜边c的长综合运用D（第8题）8.如图，在△ABC中，AB=AC=BC，高AD=h：求AB.18第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 复习题２４ １．两人从同一地点同时出发，一人以２０ｍ／ｍｉｎ的速度向北直行，一人以３０ｍ／ｍｉｎ 的速度向东直行．１０ｍｉｎ后他们相距多远 （结果取整数）？ ２．如图，过圆锥的顶点犛 和底面圆的圆心犗 的平面截圆锥得截面△犛犃犅，其中 犛犃＝犛犅，犃犅 是圆锥底面圆犗 的直径．已知犛犃＝７ｃｍ，犃犅＝４ｃｍ，求截面 △犛犃犅的面积． O A B S A B C 77 x 134 b a d （第２题） （第３题） （第４题） ３．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是１３４ｍｍ，两孔中心的水 平距离是７７ｍｍ．计算两孔中心的垂直距离 （结果保留小数点后一位）． ４．如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽犪＝３ｍ，高犫＝１．５ｍ， 长犱＝１０ｍ．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米 （结果保留小数点后一位）． ５．一个三角形三边的比为１∶ ３∶２ 槡 ，这个三角形是直角三角形吗？ ６．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ （１）两条直线平行，同位角相等； （２）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； （３）等边三角形是锐角三角形； B A D C （第８题） （４）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． ７．已知直角三角形的两条直角边的长分别为２ ３＋１ 槡 和 ２３－１ 槡 ，求斜边犮的长． ８．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝犅犆，高犃犇＝犺．求犃犅． ８１