(1）△ABC的面积；(2）斜边AB；(3）高CD.9.已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高1的长（结果取整数）.这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有池方一丈，生其中央，出水一尺，引赴岸，适与岸齐。问水深、（第9题）（第10题）长各几何（丈、尺是10.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，长度单位，1丈=10尺，在水池正中央有一根芦，它高出水面1尺，如果把11 尺-m)3这根芦第拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？11.如图，在Rt△ABC中，ZC=90°，/A=30AC=2.求斜边AB的长30°dC（第11题）（第12题）12.有5个边长为1的正方形，排列形式如图。请把它们分割后拼接成一个大正方形拓广探索13.如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆。求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积（第13题）（第14题）14.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE一CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2十AD2=2AC2.（提示：连接BD.）9第二十四章勾股定理
书 !"#$%&'()* （１）△犃犅犆的面积； （２）斜边犃犅； （３）高犆犇． ９．已知一个三角形工件尺寸 （单位：ｍｍ）如图，计算高犾的长 （结果取整数）． 这是我国古代数学 著作 《九章算术》中的 一个问题．原文是：今 有池方一丈，葭生其中 央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐．问水深、 葭长各几何．（丈、尺是 长度单位，１丈＝１０尺， １尺＝１ ３ ｍ） l 88 88 64 （第９题） （第１０题） １０．有一个水池，水面是一个边长为１０尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面１尺．如果把 这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池 边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ １１．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中 ，∠犆＝９０°，∠犃＝３０°，犃犆＝２．求斜边犃犅的长． A 30e C B （第１１题） （第１２题） １２．有５个边长为１的正方形，排列形式如图．请把它们分割后拼接成一个大正方形． １３．如图，分别以等腰Ｒｔ△犃犆犇的边犃犇，犃犆，犆犇为直径画半圆．求证：所得两个月形 图案犃犌犆犈和犇犎犆犉的面积之和 （图中阴影部分）等于Ｒｔ△犃犆犇的面积． A B D E G C H F （第１３题） B A C D E （第１４题） １４．如图，△犃犆犅和△犈犆犇 都是等腰直角三角形，犆犃＝犆犅，犆犈＝犆犇，△犃犆犅 的 顶点犃 在△犈犆犇 的斜边犇犈上．求证：犃犈２＋犃犇２＝２犃犆２．（提示：连接犅犇．） ９
阅读与思考勾股定理的证明2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？1.传说中毕达哥拉斯的证法（图1）提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等。bhbaba(1)(2)图12.弦图的另一种证法（图2）提示：以斜边为边长的正方形的面积十4个三角形的面积一外正方形的面积B.b图2图33.美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积10第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 勾股定理的证明 ２０００多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不但因为这个定理重要、基本，还 因为这个定理贴近人们的生活实际．以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿 意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现．下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你 能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？ １．传说中毕达哥拉斯的证法 （图１） 提示：（１）中拼成的正方形与 （２）中拼成的正方形面积相等． b a a b b a a b ba a b b a a b c c c c （１） （２） 图１ ２．弦图的另一种证法 （图２） 提示：以斜边为边长的正方形的面积＋４个三角形的面积＝外正方形的面积． C B A b a c C B A b a c c a b D E 图２ 图３ ３．美国第２０任总统茄菲尔德的证法 （图３） 提示：３个三角形的面积之和＝梯形的面积． ０１
24.2勾股定理的逆定理据说，古埃及人用图24.2-1的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。(13)(1)相传，我国古代(12)(11)(2)大禹治水测量工程时，(10)也用类似方法确定(3)(9)直角.(4)(5)(6)(7)(8)图24.2-1这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32十42=52”，那么围成的三角形是直角三角形画画看，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52十62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.由上面的几个例子，我们猜想：命题2如果三角形的三边长a，6，c满足α2十6=，那么这个三角形是直角三角形我们看到，命题2与上节的命题1的题设、命题1、命题结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互2的题设、结论分逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另-别是什么？个叫做它的逆命题，例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题.上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？在图24.2-2（1）中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2十b2=c2.要证△ABC一定是直角三角形，我们可以先画一个两第二十四章勾股定理11
!"#$%&'()* ２４．２ 勾股定理的逆定理 据说，古埃及人用图２４．２１的方法画直角：把一根长绳打上等距离的１３ 个结，然后以３个结间距、４个结间距、５个结间距的长度为边长，用木桩钉 成一个三角形，其中一个角便是直角． 相传，我国古代 大禹治水测量工程时， 也 用 类 似 方 法 确 定 直角． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 图２４．２１ 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为３，４，５，它们满足 关系 “３２＋４２＝５２”，那么围成的三角形是直角三角形． 画画看，如果三角形的三边长分别为２．５ｃｍ，６ｃｍ，６．５ｃｍ，它们满足 关系 “２．５２＋６２＝６．５２”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 ４ｃｍ，７．５ｃｍ，８．５ｃｍ，再试一试． 由上面的几个例子，我们猜想： 命题２ 如果三角形的三边长犪，犫，犮满足犪２＋犫２＝犮２，那么这个三角形 是直角三角形． 命题１、命题 ２的题设、结论分 别是什么？ 我们看到，命题２与上节的命题１的题设、 结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互 逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题．例如，如果把命题１当成原 命题，那么命题２是命题１的逆命题．上节已证 明命题１正确，能证明命题２正确吗？ 在图２４．２２（１）中，已知△犃犅犆 的三边长 分别为犪，犫，犮，且满足犪２ ＋犫２ ＝犮２．要证 △犃犅犆一定是直角三角形，我们可以先画一个两 １１
条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果△ABC与这个直角三角形全等，那么△ABC就是一个直角三角形如图24.2-2(2)，画一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A'C'=b，ZC'90°根据勾股定理，A'B'2=BC/2+AC'2=a2+62.因为a2+62=c2，所以AB'=c.在△ABC和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC-b=AC，AB=c=AB，所以△ABC△ABC因此ZC=ZC=90，即△ABC是直角三角形.4Daa(1)(2)图24.2-2这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理我们把这个定理叫做勾股定理一般地，如果一的逆定理，它是判定直角三角形的一个依据，个定理的逆命题经过一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成证明是正确的，那么立，也可能不成立．如本章中的命题1成立，它的它也是一个定理，称逆命题命题2也成立；命题“对顶角相等”成立，这两个定理互为逆定理而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8c=17;(2)a=13，b=14，c=15分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方像15，8，17这解：（1）因为152+82=225+64=289，样，能够成为直角三172-289,角形三条边长的三个所以152十82=172，根据勾股定理的逆定理，这正整数，称为勾股数.个三角形是直角三角形12第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 条直角边长分别为犪，犫的直角三角形，如果△犃犅犆与这个直角三角形全等， 那么△犃犅犆就是一个直角三角形． 如图２４．２２（２），画一个Ｒｔ△犃′犅′犆′，使犅′犆′＝犪，犃′犆′＝犫，∠犆′＝ ９０°．根据勾股定理，犃′犅′２＝犅′犆′２＋犃′犆′２＝犪２＋犫２．因为犪２＋犫２＝犮２，所以 犃′犅′＝犮．在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，犅犆＝犪＝犅′犆′，犃犆＝犫＝犃′犆′，犃犅＝犮＝ 犃′犅′，所以△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．因此∠犆＝∠犆′＝９０°，即△犃犅犆是直角三角形． B C A c a b B C A a b （１） （２） 图２４．２２ 一般地，如果一 个定理的逆命题经过 证明是正确的，那么 它也是一个定理，称 这 两 个 定 理 互 为 逆 定理． 这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的， 它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理 的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成 立，也可能不成立．如本章中的命题１成立，它的 逆命题命题２也成立；命题 “对顶角相等”成立， 而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角 是对顶角”却不成立． 例１ 判断由线段犪，犫，犮组成的三角形是不是直角三角形： （１）犪＝１５，犫＝８，犮＝１７； （２）犪＝１３，犫＝１４，犮＝１５． 像１５，８，１７这 样，能够成为直角三 角形三条边长的三个 正整数，称为勾股数． 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个 三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长 的平方和是否等于最大边长的平方． 解：（１）因为１５２＋８２＝２２５＋６４＝２８９， １７２＝２８９， 所以１５２＋８２＝１７２，根据勾股定理的逆定理，这 个三角形是直角三角形． ２１
（2）因为132+142=169+196=365，152-225,所以132十142≠15，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形例2如图24.2-3，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？1分析：在图24.2-3中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了，解：根据题意，EPQ=16X1.5=24,图24.2-3PR=12X1.5=18,QR=30.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以/QPR=90°由“远航”号沿东北方向航行可知，乙1=45°因此，乙2=45°，即“海天”号沿西北方向航行练习1.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2一b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等：（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角s2的平分线上3.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的12km正东方向，C地在B地的什么方向？（第3题）第二十四章勾股定理13
!"#$%&'()* （２）因为１３２＋１４２＝１６９＋１９６＝３６５， １５２＝２２５， 所以１３２＋１４２≠１５２，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形． 例２ 如图２４．２３，某港口犘位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海 天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 １６ｎｍｉｌｅ，“海天”号每小时航行１２ｎｍｉｌｅ．它们离开港口一个半小时后分别 位于点犙，犚处，且相距３０ｎｍｉｌｅ．如果知道 “远航”号沿东北方向航行，能 知道 “海天”号沿哪个方向航行吗？ P R N 2 1 E 图２４．２３ 分析：在图２４．２３中可以看到，由于 “远 航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所 成的角，就能知道 “海天”号的航向了． 解：根据题意， 犘犙＝１６×１．５＝２４， 犘犚＝１２×１．５＝１８， 犙犚＝３０． 因为２４２＋１８２＝３０２，即犘犙２＋犘犚２＝犙犚２，所以∠犙犘犚＝９０°． 由 “远航”号沿东北方向航行可知，∠１＝４５°．因此，∠２＝４５°，即 “海天” 号沿西北方向航行． A C B5 km 12 km 13 km （第３题） １．如果三条线段长犪，犫，犮满足犪２＝犮２－犫２，这三条线段组成的三角形是不是直 角三角形？为什么？ ２．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （１）两条直线平行，内错角相等； （２）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （３）全等三角形的对应角相等； （４）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角 的平分线上． ３．Ａ，Ｂ，Ｃ三地的两两距离如图所示，Ａ地在Ｂ地的 正东方向，Ｃ地在Ｂ地的什么方向？ ３１