9.如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的面积与周长；（2）ZBCD是直角吗？2尺3尺（第9题）（第10题）10.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题。其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）11.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2一1c=m2+1，那么a，b，c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？拓广探索12.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？B（第12题）13.一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，40cm，30cm的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线）114.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h求证：2X1162=h2第二十四章勾股定理19
书 !"#$%&'()* ９．如图，每个小正方形的边长都为１． （１）求四边形犃犅犆犇 的面积与周长； （２）∠犅犆犇 是直角吗？ B A C D 3 ? （第９题） （第１０题） １０．一根竹子高１丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端３尺处．折断处离地面的高度 是多少？（这是我国古代数学著作 《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是 长度单位，１丈＝１０尺．） １１．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果犿 表示大于１的整数，犪＝２犿，犫＝犿２－１， 犮＝犿２＋１，那么犪，犫，犮为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论 得出一些勾股数吗？ １２．如图，圆柱的底面半径为６ｃｍ，高为１０ｃｍ．蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点犃 爬 到点犅的最短路程是多少厘米 （结果保留小数点后一位）？ A B O O （第１２题） １３．一根７０ｃｍ的木棒，要放在长、宽、高分别是５０ｃｍ，４０ｃｍ，３０ｃｍ的长方体木 箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线．） １４．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为犪，犫及犺．求证：１ 犪２ ＋ １ 犫２＝１ 犺２． ９１
第二十五章平行四边形与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗··现实世界中很多物体都有平行四边形的形象，为什么平行四边形形状的物体到处可见呢？这与平行四边形的性质有关，前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法，本章我们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性质定理和判定定理：进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明它们h
书 第二十五章 平行四边形 与三角形一样，平行四边形也是一种基本的 几何图形．宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别 具一格的窗棂.现实世界中很多物体都有平行 四边形的形象．为什么平行四边形形状的物体到处 可见呢？这与平行四边形的性质有关． 前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌 握了一些探索和证明图形几何性质的方法．本章我 们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方 形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利 用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性 质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性 质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等 途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推 理证明它们．
25.1 平行四边形平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱芭、载重汽车的防护栏等（图25.1-1），都有平行四边形的形象你还能举出一些例子吗？图25.1-1我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）.平行四边形用“”表示，如图25.1-2，平行四边形ABCD记作“口ABCD”图25.1-225.1.1平行四边形的性质由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行除此之外，平行四边形还有什么性质呢？探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等：平行四边形的对角相等下面我们对它进行证明第二十五章平行四边形21
!"#$%&'()*+ ２５．１ 平行四边形 平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防 护栏等 （图２５．１１），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？ 图２５．１１ B A C D 图２５．１２ 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫 做平行四边形 （ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍ）．平 行 四 边 形 用 “”表示，如图２５．１２，平行四边形犃犅犆犇 记 作 “犃犅犆犇”． ２５．１．１ 平行四边形的性质 由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之 外，平行四边形还有什么性质呢？ 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了 “两组对边分别平行” 外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你 的猜想一致吗？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角 相等．下面我们对它进行证明． １２
上述猜想涉及线段相等、角相等，我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法，为此，我们通过添加辅助线，构造两个图25.1-3三角形，通过三角形全等进行证明，证明：如图25.1-3，连接AC.不添加辅助: AD//BC,AB/CD线，你能否直接运: /1=/2, /3=/4.用平行四边形的定又AC是△ABC和△CDA的公共边，义，证明其对角:.AABC△CDA.相等？:. AD=CB, AB=CD,/B=/D请同学们自己证明／BAD=／DCB已知平行四边这样我们证明了平行四边形具有以下性质：形一个内角的度平行四边形的对边相等；数，你能确定其他平行四边形的对角相等内角的度数吗？自如图25.1-4，在ABCD中，DEAB，例1BFICD，垂足分别为E，F.求证AE=CF.证明：：四边形ABCD是平行四边形，:. /A=ZC, AD-CB.又/AED=ZCFB=90B:: AADEACBF.图25.1-4.. AE-CF.距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离。如图25.1-5，a//b，c/d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等22第二十五章平行四边形
!"#$%&'()*+ B A C D 1 2 3 4 图２５．１３ 上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道， 利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应 角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要 的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个 三角形，通过三角形全等进行证明． 不 添 加 辅 助 线，你能否直接运 用平行四边形的定 义，证 明 其 对 角 相等？ 证明：如图２５．１３，连接犃犆． ∵ 犃犇∥犅犆，犃犅∥犆犇， ∴ ∠１＝∠２，∠３＝∠４． 又 犃犆是△犃犅犆和△犆犇犃的公共边， ∴ △犃犅犆≌△犆犇犃． ∴ 犃犇＝犆犅，犃犅＝犆犇， ∠犅＝∠犇． 已知平行四边 形一 个 内 角 的 度 数，你能确定其他 内角的度数吗？ 请同学们自己证明∠犅犃犇＝∠犇犆犅． 这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等． 例１ 如图２５．１４，在犃犅犆犇中，犇犈⊥犃犅， 犅犉⊥犆犇，垂足分别为犈，犉．求证犃犈＝犆犉． 证明：∵ 四边形犃犅犆犇 是平行四边形， A B C E D F 图２５．１４ ∴ ∠犃＝∠犆，犃犇＝犆犅． 又 ∠犃犈犇＝∠犆犉犅＝９０°， ∴ △犃犇犈≌△犆犅犉． ∴ 犃犈＝犆犉． 距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、 点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条 平行线之间的距离． 如图２５．１５，犪∥犫，犮∥犱，犮，犱与犪，犫分别相交于犃，犅，犆，犇 四点． 由平行四边形的概念和性质可知，四边形犃犅犇犆是平行四边形，犃犅＝犆犇．也 就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． ２２
两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到直线的距离有何联BDB系与区别？图25.1-5图25.1-6OC从上面的结论可以知道，如果两条直线平行：那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离如图25.1-6，α/b，A是a上的任意一点，ABIb，B是垂足，线段AB的长就是α，b之间的距离练习1，在口ABCD中，（1）已知AB=5，BC=3，求它的周长；（2）已知/A=38°，求其余各内角的度数2.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起重合的部分构成了一个四边形转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？(第2题）上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质，探究如图25.1-7，在口ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？图25.1-7我们猜想，在口ABCD中，OA=OC，OB=OD与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三第二十五章平行四边形23
!"#$%&'()*+ 两条平行线之 间的距离与点和点 之间的距离、点到 直线的距离有何联 系与区别？ A B C a c d D b B A a b 图２５．１５ 图２５．１６ 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到 另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图２５．１６，犪∥犫，犃是犪上的任意一 点，犃犅⊥犫，犅是垂足，线段犃犅的长就是犪，犫之间的距离． A B D C （第２题） １．在犃犅犆犇 中， （１）已知犃犅＝５，犅犆＝３，求它的周长； （２）已知∠犃＝３８°，求其余各内角的度数． ２．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， 重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段 犃犇 和犅犆的长度有什么关系？为什么？ 上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研 究平行四边形对角线的性质． O A B D C 图２５．１７ 如图２５．１７，在犃犅犆犇 中，连接犃犆，犅犇， 并设它们相交于点犗，犗犃与犗犆，犗犅与犗犇 有什么 关系？你能证明发现的结论吗？ 我们猜想，在犃犅犆犇 中，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇． 与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三 ３２