连在一一起，它的面积是α2十62：另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）.把图24.1-6（1）中左、右两个三角形移到图24.1-6（2）中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图24.1-6（3)）.因为图24.1-6（1)与图24.1-6（3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等.因此，a2+b2=c2.(1)(2)(3)图24.1-6这样我们就证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理赵爽所用的这种(Pythagoras theorem).方法是我国古代数学“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙家常用的“出入相补地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国法”在西方，人们称古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代勾股定理为毕达哥拉斯定理.数学的骄傲.因此，这个图案（图24.1-5）被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽练习1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形E都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别（第2题）是12，16，9，12，求最大正方形E的面积4第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 连在一起，它的面积是犪２＋犫２ ；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直 角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）．把图２４．１６（１）中左、右两个三角 形移到图２４．１６（２）中所示的位置，就会形成一个以犮为边长的正方形 （图２４．１６（３））．因为图２４．１６（１）与图２４．１６（３）都由四个全等的直角三 角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的面积相等．因此， 犪２＋犫２＝犮２． c a b a b c a b c a （１） （２） （３） 图２４．１６ 赵爽所用的这种 方法是我国古代数学 家常用的 “出入相补 法”．在西方，人们称 勾股定理为毕达哥拉 斯定理． 这样我们就证实了命题１的正确性，命题１ 与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理 （Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓｔｈｅｏｒｅｍ）． “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙 地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国 古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代 数学的骄傲．因此，这个图案 （图２４．１５）被选为 ２００２年在北京召开的国际数学家大会的会徽． A B C D E （第２题） １．设直角三角形的两条直角边长分别为犪和犫，斜边 长为犮． （１）已知犪＝６，犮＝１０，求犫； （２）已知犪＝５，犫＝１２，求犮； （３）已知犮＝２５，犫＝１５，求犪． ２．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形 都是正方形．已知正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的边长分别 是１２，１６，９，１２，求最大正方形Ｅ的面积． ４
勾股定理有广泛应用，下面我们用它解决几个问题例1/一个门框的尺寸如图24.1-7所示，一块D长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板R的宽比较，就能知道木板能否通过1m解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，图24.1-7AC2=AB2+BC2=12十22=5AC=/5~2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过例2如图24.1-8，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？解：可以看出，BD=OD一OB在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2-AB2-OA2-2.62-2.42-11OB=/1=1.图24.1-8在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2—OC2-2. 62-(2. 4-0. 5)2=3. 15OD=/3.15~1.77,BD=OD-OB~1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m第二十四章勾股定理5
!"#$%&'()* 勾股定理有广泛应用，下面我们用它解决几个问题． 2 m B D C A 1m 图２４．１７ 例１ 一个门框的尺寸如图２４．１７所示，一块 长３ｍ，宽２．２ｍ的长方形薄木板能否从门框内通 过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框 内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线犃犆的 长度是斜着能通过的最大长度．求出犃犆，再与木板 的宽比较，就能知道木板能否通过． 解：在Ｒｔ△犃犅犆中，根据勾股定理， 犃犆２＝犃犅２＋犅犆２＝１２＋２２＝５． 犃犆＝槡５≈２．２４． 因为犃犆大于木板的宽２．２ｍ，所以木板能从门 框内通过． B A C O D 图２４．１８ 例２ 如图２４．１８，一架２．６ｍ长的梯子犃犅斜 靠在一竖直的墙犃犗 上，这时犃犗 为２．４ｍ．如果梯 子的顶端犃 沿墙下滑０．５ｍ，那么梯子底端犅 也外 移０．５ｍ吗？ 解：可以看出，犅犇＝犗犇－犗犅． 在Ｒｔ△犃犗犅中，根据勾股定理， 犗犅２＝犃犅２－犗犃２＝２．６２－２．４２＝１． 犗犅＝槡１＝１． 在Ｒｔ△犆犗犇 中，根据勾股定理， 犗犇２＝犆犇２－犗犆２＝２．６２－（２．４－０．５）２＝３．１５． 犗犇＝槡３．１５≈１．７７， 犅犇＝犗犇－犗犅≈１．７７－１＝０．７７． 所以梯子的顶端沿墙下滑０．５ｍ时，梯子底端 并不是也外移０．５ｍ，而是外移约０．７７ｍ． ５
练习1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC20m求A，B两点间的距离（结果取整数）15B2345601(第1题）（第2题）2.如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4).求这两点之间的距离思考在七年级下册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证如下：已知：如图24.1-9，在Rt△ABC和Rt△ABC中，/C=/C=90，AB=A'B，AC=A'C"求证：△ABCAAB'C"证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，C=BC'BCZC=90°，根据勾股定理，得图24.1-9BC-/AB?-AC2,B'C'-VA'B2-AC'2又 AB=A'B'，AC=A'C",.. BC=B'C'..AABC△AB'C(SSS)探究我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示/13的点吗？6第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* B C A （第１题） O B A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 x y （第２题） １．如图，池塘边有两点犃，犅，点犆是与犅犃方向成直角的犃犆方向上一点，测得 犅犆＝６０ｍ，犃犆＝２０ｍ．求犃，犅两点间的距离 （结果取整数）． ２．如图，在平面直角坐标系中有两点犃 （５，０）和犅 （０，４）．求这两点之间的距离． 在七年级下册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ A C B A C B 图２４．１９ 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图２４．１９，在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′中， ∠犆＝∠犆′＝９０°，犃犅＝犃′犅′，犃犆＝犃′犆′． 求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′． 证明：在 Ｒｔ△犃犅犆 和 Ｒｔ△犃′犅′犆′中，∠犆＝ ∠犆′＝９０°，根据勾股定理，得 犅犆＝槡犃犅２－犃犆２，犅′犆′＝槡犃′犅′２－犃′犆′２． 又 犃犅＝犃′犅′，犃犆＝犃′犆′， ∴ 犅犆＝犅′犆′． ∴ △犃犅犆≌△犃′犅′犆′ （ＳＳＳ）． 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴 上画出表示槡１３的点吗？ ６
如果能画出长为/13的线段，就能在数轴上画出表示/13的点.容易知道，长为/2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边长为/13的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，长为/13的线段是直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示/13的点.图24.1-10如图24.1-10，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3，过点A作直线1垂直于OA，在1上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示/13的点类似地，利用勾股定理，可以作出长为/2，V3，V5，的线段（图24.1-11).按照同样方法，可以在数轴上画出表示/，V2，V3，/4，5，的点(图24.1-12).13/1214川J1so16历J818VE16I30230BA0/图24.1-11图24.1-12练习1.在数轴上作出表示/17的点2.如图，等边三角形的边长是6.求：（1）高AD的长；（2）这个三角形的面积。D（第2题）勾股定理7第二十四章
!"#$%&'()* 如果能画出长为槡１３的线段，就能在数轴上画出表示槡１３的点．容易知道， 长为槡２的线段是两条直角边的长都为１的直角三角形的斜边．长为槡１３ 的线 段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？ B A l C O 321 图２４．１１０ 利用勾股定理，可以发现，长为槡１３的线段是 直角边的长为正整数２，３的直角三角形的斜边． 由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示槡１３ 的点． 如图２４．１１０，在数轴上找出表示３的点犃， 则犗犃＝３，过点犃作直线犾垂直于犗犃，在犾上取 点犅，使犃犅＝２，以原点犗为圆心，以犗犅 为半径作弧，弧与数轴的交点犆 即为表示槡１３的点． 类似地，利用勾股定理，可以作出长为槡２，槡３，槡５，.的线段 （图２４．１１１）． 按照同样方法，可以在数轴上画出表示槡１，槡２，槡３，槡４，槡５，.的点 （图２４．１１２）． 0 1 2 3 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 14 15 16 17 18 19 图２４．１１１ 图２４．１１２ B A CD （第２题） １．在数轴上作出表示槡１７的点． ２．如图，等边三角形的边长是６．求： （１）高犃犇 的长； （２）这个三角形的面积． ７
习题24.1复习巩固1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c（1）已知a=12，b=5，求c;(2)已知a=3，c=4，求b;（3）已知c=10，b=9，求a.2.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前有多高？O（第2题）（第3题）3.如图：一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7.AB的长是多少24：已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位)下21→60（第4题）（第5题）5.如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆.求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位），6.在数轴上作出表示/20的点.综合运用7.在△ABC中，ZC=90°，AB=c.(1）如果/A=30°求BC，AC;(2）如果/A=45°求BC，AC8.在△ABC中，/C=90，AC=2.1，BC-2.8.求:8第二十四章勾股定理
!"#$%&'()* 习题２４．１ １．设直角三角形的两条直角边长分别为犪和犫，斜边长为犮． （１）已知犪＝１２，犫＝５，求犮； （２）已知犪＝３，犮＝４，求犫； （３）已知犮＝１０，犫＝９，求犪． ２．一木杆在离地面３ｍ处折断，木杆顶端落在离木杆底端４ｍ处．木杆折断之前有多高？ （第２题） O A B （第３题） ３．如图，一个圆锥的高犃犗＝２．４，底面半径犗犅＝０．７．犃犅的长是多少？ ４．已知长方形零件尺寸 （单位：ｍｍ）如图，求两孔中心的距离 （结果保留小数点后一 位）． C A B 21 60 40 21 （第４题） B A l （第５题） ５．如图，要从电线杆离地面５ｍ处向地面拉一条长为７ｍ的钢缆．求地面钢缆固定 点犃 到电线杆底部犅的距离 （结果保留小数点后一位）． ６．在数轴上作出表示槡２０的点． ７．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝犮． （１）如果∠犃＝３０°，求犅犆，犃犆； （２）如果∠犃＝４５°，求犅犆，犃犆． ８．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝２．１，犅犆＝２．８．求： ８