西安交通大学EE'ANRRRS3.5系统的稳定性和代数稳定判据充要条件说明注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与闭环极点有关，与零点无关。对于一阶系统,as+α=0,s=-,只要 αo,都大于零,ai系统是稳定的。对于二阶系统,a,s +4,5 + = 0, 12 =-4 ±V-4a,2a2只有αo,αi,α2都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。11
11 对于一阶系统， 只要 都大于零， 系统是稳定的。 0, , 1 0 1 0 a a a s + a = s = − 0 1 a ,a 对于二阶系统， 2 2 0 2 1 1 1 0 1,2 2 2 2 4 0, a a a a a a s a s a s − − + + = = 只有 0 1 2 都大于零，系统才稳定。(负实根或实部为负) a ,a ,a 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。 注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与闭 环极点有关，与零点无关。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 充要条件说明
西安交通大学E'ANJLAROTONAENIVEESTY3.5系统的稳定性和代数稳定判据劳斯判据二、劳思一赫尔维茨稳定性判据（一）、劳思判据a,s" +a.设线性系统的特征方程为+...+a,s+a=0则该系统稳定的充要条件为：口特征方程的全部系数为正值；口由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正Shanan-2an-4劳思阵的前两行由特征方程的5n-1系数组成。an-1an-3an-551~2b3bib2第一行为1，3，5，...项系数组513CC2C3成,Sn-4dd2d.第二行为2，4，6，...项系数组成。s'fis°g112
12 二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 劳思阵的前两行由特征方程的 系数组成。 第一行为1，3，5，.项系数组 成， 第二行为2，4，6，.项系数组 成。 则该系统稳定的充要条件为： ❑ 特征方程的全部系数为正值； ❑ 由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。 . 1 0 0 1 + 1 + + + = − a s a − s a s a n n n 设线性系统的特征方程为 n 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 5 2 4 . . . . . . . g f d d d c c c b b b a a a a a a n n n n n n − − − − − 0 1 4 3 2 1 . s s s s s s s n n n n n − − − − 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 劳斯判据
西安交通大学EEFANJLAROTONAENIVEESTY3.5系统的稳定性和代数稳定判据劳斯判据以下各项的计算式为：由该项元素前两行的第一列和后一列构成的行列式取负值再除以上一行第一列元素。anan-2San-6an-4an-3an-1an-1an-2-anan-3hSan-7tn-3an-5Ctn-yan-1an-1b.51~2b2b4banasi3CiC2C3C4an-1an-5an-ian-4 -anan-551-4d,dsd2d...hoan-1an-1Isanfian-6soan-7an-1g1an-1an-6 -anan-7an-1an-113
13 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 5 7 2 4 6 . . . . . . g f d d d d c c c c b b b b a a a a a a a a n n n n n n n n − − − − − − − 0 1 4 3 2 1 . s s s s s s s n n n n n − − − − 以下各项的计算式为： 由该项元素前两行的第一列和后一列构成的行列式取负值再除 以上一行第一列元素。 1 1 2 3 1 1 3 2 1 − − − − − − − − − = − = n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 1 1 4 5 1 1 5 4 2 − − − − − − − − − = − = n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 1 1 6 7 1 1 7 6 3 − − − − − − − − − = − = n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 劳斯判据
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY3.5系统的稳定性和代数稳定判据劳斯判据shanan-1an-3an-2an-4an-6bib25h-1ban-3 -bzan-1an-1arOn-5-3Ci =bibib4sh-2b,bsh-3[an-1C3C4CiC2an-5bibs5h-4d,d.d,d,bjan-5 -bsan-1C2bibi..sfian-1an-7s0g1bib4bran-7 -baan-1C3 =bibicb4 - biC4di = Sb - bc2Cb3 - biC3=do=?C1C1C1依次类推。可求得ej,fi,gi..i=1,2.)14
14 0 1 4 3 2 1 s s s s s s s n n n n n − − − − 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 5 7 2 4 6 . . . . . . g f d d d d c c c c b b b b a a a a a a a a n n n n n n n n − − − − − − − 1 1 3 2 1 1 1 2 1 3 1 b b a b a b b b a a c n n n n − − − − − = − = 1 1 5 3 1 1 1 3 1 5 2 b b a b a b b b a a c n n n n − − − − − = − = 1 1 7 4 1 1 1 4 1 7 3 b b a b a b b b a a c n n n n − − − − − = − = 1 1 4 1 4 3 1 1 3 1 3 2 1 1 2 1 2 1 c c b b c d c c b b c d c c b b c d − = − = − = 依次类推。可求得 e , f , g ,.(i =1,2,.) i i i 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 劳斯判据