11 a 12 In 21 22 2n 2 =(x1,x2,…yCn n2 n l 12 In x 记A= 21 22 n n2 n 则二次型可记作∫=x7Ax,其中A为对称矩阵
则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A 记 ( ) = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样, 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵4叫做二次型f的矩阵 ∫叫做对称矩阵4的二次型 对称矩阵4的秩叫做二次型∫的秩
三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩
例1写出二次型 ∫=x1+2x2-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵 解a1=1,a2=2,a3=-3, = 21 =2, ,=a,=0 13 =-3. 32 120 A=22-3 0-3-3
解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0 − − A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１
四、化二次型为标准形 对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形 设 +C1y2 2 十∴+c Inng =C 2 211 22y2 十∴+C nong n y1+c, n2 +…+Cmy n n 记C=(c,则上述可逆线性变换可记作 8/21
= + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy 8/21