《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）知识模块7 线性离散控制系统 7.3 Z变换

第七章离散系统Z变换7.32线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳态性能。Z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就CURREN是离散信号的拉普拉斯变换

线性连续控制系统可采用线性微分方程来描 述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性 能。而对于线性离散系统，则可以采用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳 态性能。Z变换是研究离散系统的主要数学工 具，它是由拉普拉斯变换引导出来的，实际上就 是离散信号的拉普拉斯变换。 7.3 Z变换 第七章 离散系统

第七章 离散系统Z变换的定义7.3.1已知连续信号t)的拉普拉斯变换为：F(s)= LLf(t)]= J~ f(t)e-st dt而连续信号ft)经过采样后的离散信号f*(t)为：0Of*(t)= Ef(nT)S(t -nT)n=0它的拉普拉斯变换为：8F"(s)=LF(t)=Zf(nT)e-Isn=0CURRE可见：上式含有s的超越函数e-nTs，不便于计算，故引入一个新的复变量z

它的拉普拉斯变换为：       0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e 7.3.1 Z变换的定义 第七章 离散系统 已知连续信号f(t)的拉普拉斯变换为：      0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st 而连续信号f(t)经过采样后的离散信号f * (t)为：      0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT  t nT 可见：上式含有s的超越函数e -nTs ，不便于计算，故 引入一个新的复变量z

第七章离散系统Z变换（续）令z=e"或s==llnz（z是一个复变量），则有：TF(z)= F*(s)Im- -Ef(nT)z-"Im1=0如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f*(t)的z变换，记作Z\f*(t)]=F(z)。指出：F(z)是f*(t)的z变换，它只考虑了采样时刻的信号值f(nT）。但对于连续信号f(t)而言，由于在采样时刻f(t)的值就是f(nT)，所以也称F(z)是f(t)的z变换，即Ef(nT)z-"ZLf(t))= ZLf*(t)l= F(z)=n=0an

Ts 令z  e z (z是一个复变量)，则有： T s ln 1 或  第七章 离散系统 Z变换（续）        0 l n 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s F z F s f nT z 如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f * (t)的z 变 换，记作Z[f * (t)]=F(z)。 指出: F(z)是f * (t)的z 变换，它只考虑了采样时刻的 信号值 f (nT) 。但对于连续信号 f (t)而言，由于在 采样时刻 f (t) 的值就是 f (nT) ，所以也称 F(z)是f(t) 的z 变换， 即        0 * [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) n n Z f t Z f t F z f nT z

第七章离散系统Z变换的求法7.3.21.级数求和法：将离散级数f*(t)展开：8f"(t)=Zf(nT)8(t-nT)n=0= f(O)S(t)+ f(T)S(t -T)+ f(2T)S(t -2T)+...+ f(nT)o(t-nT)+...则F*(s)= f(0)×1+ f(T)e-s + f(2T)e-2Ts ++ f(nT)e-n's f(nT)e-ns +或F(z)= f(0)×1+ f(T)z-I + f(2T)z-2 ++ f(nT)z-n +

7.3.2 Z变换的求法 1．级数求和法： 将离散级数 ( ) : f * t 展开 第七章 离散系统             n f nT z F z f f T z f T z ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 或 1 2    0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT  t nT            ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) f nT t nT f t f T t T f T t T                  nTs nTs Ts Ts f nT e f nT e F s f f T e f T e ( ) ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 则 * 2

第七章离散系统Z变换的求法云（续）F(z)= f(O)×1+ f(T)z-I + f(2T)z-2 +...+ f(nT)z-" +..这是离散信号f*(t)的Z变换展开形式，只要知道t)在各个采样时刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。例1：求单位阶跃1(t）的Z变换。解：1(t)在任何采样点的值均为1，:.1(nT)=1: Z[1(t)I = z° + z- + z-2 + .....·+之n公比为z-"；若满足--}<1,则有：

这是离散信号f * (t) 的Z变换展开形式，只要知道f(t) 在各个采样时刻的数值，即可求得其Z变换。这种级 数展开式是开放形式，有无穷多项，应用少，通常 写成闭合形式。 Z变换的求法（续） 第七章 离散系统 F(z)  f (0)1 f (T)z 1  f (2T)z 2  f (nT)z n  解：1(t)在任何采样点的值均为1，  Z[1(t)]  z 0  z 1  z 2  z n  1 公比为 z ；若满足 1 1   z ，则有： 1(nT) 1 例1：求单位阶跃1(t)的Z变换