《自动控制基础》课程教学资源（课件讲稿）知识模块7 线性离散控制系统 7.4 离散系统的数学模型

第七章离散系统7.4离散系统的数学模型为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图信号流图、脉冲响应函数及频率特性等：而离散系统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代控制理论》中讲授。7.4.1线性常系数差分方程设输入序列为r(n)[r(nT)的简记]，输出序列为c(n)且记作c(n)=F[r(n)l.若上式为线性关系，则称为线性

7.4 离散系统的数学模型 为研究分析离散系统，需建立其数学模型。连 续系统的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、 信号流图、脉冲响应函数及频率特性等；而离散系 统只有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表 达式三种。本章只学习前两种，第三种将在《现代 控制理论》中讲授。 7.4.1 线性常系数差分方程 设输入序列为 r(n) [ r(nT) 的简记],输出序列为 c(n), 且记作 c(n)  F[r(n)]。 若上式为线性关系,则称为线性 第七章 离散系统

第七章离散系统差分方程（续）离散系统，否则为非线性离散系统。输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统。它可以用线性定常差分方程来描述。1.差分设连续函数为y(t)，其采样函数为y(k)其一阶前向差分为 Ay(k)= y(k +l)-y(k)CURREN其二阶前向差分： y(k) = A[Ay(k)| = △[y(k + 1) - y(k)l= △y(k +1) - △y(k) = y(k + 2) - 2y(k +1) + y(k)

离散系统，否则为非线性离散系统。 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散 系统称为线性定常离散系统。它可以用线性定常 差分方程来描述。 差分方程（续） 1. 差分 设连续函数为 y(t) ，其采样函数为 y(k)， 其一阶前向差分为 y(k)  y(k  1)  y(k) 其二阶前向差分： ( 1) ( ) ( 2) 2 ( 1) ( ) ( ) [ ( )] [ ( 1) ( )] 2 y k y k y k y k y k y k y k y k y k                   第七章 离散系统

第七章离散系统差分方程（续）其一阶后向差分：Vy(k)=y(k)-y(k-1)其二阶后向差分：V"y(k) = V[y(k) - (k-1)l = Vy(k) - Vy(k -1)= y(k)-2y(k-1)+ y(k-2)2.差分方程一般地, n时刻的 c(n)不仅与 r(n)有关，且与n时刻以前的 r(n-1)r(n-2).………..有关，还与c(n-1) c(n -2)......有关。为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统

差分方程（续） 其一阶后向差分： y(k)  y(k)  y(k  1) 其二阶后向差分： ( ) 2 ( 1) ( 2) ( ) [ ( ) ( 1)] ( ) ( 1) 2                y k y k y k y k y k y k y k y k 2. 差分方程 一般地,n时刻的 c(n) 不仅与 r(n) 有关，且与n时 刻以前的 r(n  1)、r(n  2)、 有关，还与 c(n  1)、c(n  2)、 有关。 为此，可用n阶前向差分方程来描述离散控制系统 第七章 离散系统

第七章离散系统差分方程（续）的输入输出关系：c(k +n)+ajc(k + n -l) +...+an-ic(k + 1)+ anc(k)= bor(k +m)+b,r(k +m-1)+...+bm-μr(k +1)+bmr(k)也可用n阶后向差分方程描述c(k)+a,c(k-1)+...+an-c(k-n+1)+a,c(k-n)= b,r(k)+ b,r(k-1)+..+ bm-r(k-m+1)+bmr(k- m)例1：求如图所示系统的差分方程K

的输入输出关系： ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k m b r k m b r k b r k c k n a c k n a c k a c k m m n n                      ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 0 1 1 1 1 b r k b r k b r k m b r k m c k a c k a c k n a c k n m m n n                      也可用n阶后向差分方程描述 例1：求如图所示系统的差分方程。 r e c s 1 K c  差分方程（续） 第七章 离散系统

第七章离散系统差分方程（续）K解: : c(t) = Ke(t) = Kr(t) - Kc(t):: c(t)+ Kc(t) = Kr(t)dc(t)在t =kT时的值可用一阶前向: c(t) =dt差分来近似，即：dc(t)c(k+1)-c(k)URrc(k+1)-c(k)limc(t) =一TTdtT→0差分方程为： c(k+1)+(kT 1)c(k)= kTr(k)

解： c (t)  Ke(t)  Kr(t)  Kc(t) c (t)  Kc(t)  Kr(t) dt dc t c t ( )  ( )  在t  kT 时的值可用一阶前向 差分来近似，即： dt dc t c t ( ) ( )  T c k c k T c k c k T ( 1) ( ) ( 1) ( ) lim 0        差分方程（续） 第七章 离散系统 r e c s 1 K c  差分方程为：c(k  1)  (kT  1)c(k)  kTr(k)