经济数学基础 第4章多元函数的微分 第三单元二元函数的极值 第一节二元巫教的极 学习目标 偏导数的重要应用就是求极值问题.通过本节的学习,弄清楚二元函数极值、 最值的概念,会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值 内容讲解 二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似 若对(x0,y0)附近的(xy)均有f(x0,y0)<f(xy),则称(n0)是f(xy)的极 小点,∫(x,)是极小值.极大值点、极小值点统称为极值点 2.极值存在的必要条件 若一元函数y=f(x)在x处可导,且x是极值点,则f(x)=0 若二元函数=f(xy)在(x0)处可导,且(xn,)是极值点,则 f(x0,y)=0.fy(xo,y0)=0 3.二元函数最大值、最小值 若=f(xy)在闭区域D内连续,则=f(x,y)在D内必有最大值和最小值 若=f(xy)在D内可导,且在D内有唯一驻点(x),则==f(x,y)在该驻 点(x0,y0)处的值就是最大值或最小值 4.求最大值最小值应用问题的步骤: 27
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——127—— 第三单元 二元函数的极值 第一节 二元函数的极值 一、学习目标 偏导数的重要应用就是求极值问题．通过本节的学习，弄清楚二元函数极值、 最值的概念，会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值． 二、内容讲解 1.二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似． 若对 ( , ) 0 0 x y 附近的 (x, y) 均有 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称 ( , ) 0 0 x y 是 f (x, y) 的极 小点， ( , ) 0 0 f x y 是极小值．极大值点、极小值点统称为极值点. 2.极值存在的必要条件 若一元函数 y = f (x) 在 0 x 处可导，且 0 x 是极值点，则 f (x0 ) = 0 若二元函数 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处可导，且 ( , ) 0 0 x y 是极值点，则 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 3.二元函数最大值、最小值 若 z = f (x, y) 在闭区域 D 内连续，则 z = f (x, y) 在 D 内必有最大值和最小值． 若 z = f (x, y) 在 D 内可导，且在 D 内有唯一驻点 ( , ) 0 0 x y ，则 z = f (x, y) 在该驻 点 ( , ) 0 0 x y 处的值就是最大值或最小值． 4.求最大值最小值应用问题的步骤：
经济数学基础 第4章多元函数的微分 (1)根据题意,建立函数关系; (2)求驻点 如果驻点合理且惟一,则该驻点就是所求的应用问题的最大点(或最小点) 问题思考:二元函数的极值点与驻点之间有什么关系? 答案与一元函数类似,二元函数的驻点不一定是极值点,偏导数不存在的极值点也不是 驻点.但偏导数存在的极值点一定是驻点 三、例题讲解 例1求函数二=(x2+y2-2)在圆域D={xyx2+y22x)上的最大值和最 小值 解:显然〓≥0,且在闭域D上连续,当x2+y2=2x时,z=0,这是该函数 在D上的最小值 2(x2+ 0 下面求最大值: 解得x=1,y=0 它是函数=(x+y-2x)在D内部的唯一驻点,故是最大点,最大值为 (1,0)=1 例2用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子,问其尺寸为多少时,才能用 料最省? 解:设长、宽分别为xy,则高为一,表面积为 S 2 128
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——128—— （1）根据题意，建立函数关系； （2）求驻点； 如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）． 问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？ 答案 与一元函数类似，二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是 驻点．但偏导数存在的极值点一定是驻点． 三、例题讲解 例1 求函数 2 2 2 z = (x + y − 2x) 在圆域 D (x, y); x y 2x 2 2 = + 上的最大值和最 小值． 解：显然 z 0 ，且在闭域 D 上连续，当 x y 2x 2 2 + = 时， z = 0 ，这是该函数 在 D 上的最小值． 下面求最大值： 2( 2 )(2 2) 0 2 2 = + − − = x y x x x z ， 2( 2 ) 2 0 2 2 = + − = x y x y y z 解得 x = 1, y = 0 它是函数 2 2 2 z = (x + y − 2x) 在 D 内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为 z(1,0) = 1． 例 2 用铁皮做一个体积为 V 的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用 料最省？ 解：设长、宽分别为 x, y ，则高为 xy V ，表面积为 xy V y xy V S = xy + 2x + 2 x V y V = xy + 2 + 2
经济数学基础 第4章多元函数的微分 2 S=y-22=0S I32 解得x=y=V2F,此时高为x2 答:当长、宽、高分别为v2、√2、2时,无盖箱子用料最省 四、课堂练习 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料,销 售收入R(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关 系有如下经验公式R=15+14x1+32x2-8x1x2-2x1-10x2,在广告费用不限的情 况下,求最优广告策略,使所获利润最大 利润=收入一费用。收入函数题目中已给出,费用只有电台广告费和报纸广告费,即为二 者之和.这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题.解题思路:(1)审清题意,弄清 题目己知什么?要求什么?(2)根据题意,建立函数关系.建立函数关系,要先设变量,然 后根据题意,找出变量之间的等量关系,用表达式表示出来即可.一般地说,设变量要根据题 意,求什么设什么.比如,当售价多少时,利润最大?就要设条件中的价格为自变量,而设结 果中的利润为因变量:再比如,销售量为多少时,成本最少?就要设条件中的销售量为自变量 而设结果中的成本为因变量.(3)求偏导数,并令其为0,得到联立方程组.(4)解联立方 程组,得到符合题意的惟一驻点.(5)由问题的实际意义可得知,问题存在着最值.又本题 只有一个驻点,即可判断此点即是所求的极值点,也是最值点.(6)求出最值,写出答案 五、课后作业 1要造一个容积为00cm3的长方体铁箱,应如何选择尺寸方可使所用材料最 9
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——129—— 0 2 2 = − = x V S y x ， 0 2 2 = − = y V S x y 解得 3 x = y = 2V ，此时高为 2 2 3 V xy V = 答：当长、宽、高分别为 3 2V 、 3 2V 、 2 2 3 V 时，无盖箱子用料最省． 四、课堂练习 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销 售收入 R （万元）与电台广告费用 1 x (万元)及报纸广告费用 2 x （万元）之间的关 系有如下经验公式 2 2 2 R = 15 +14x1 + 32x2 − 8x1 x2 − 2x1 −10x ，在广告费用不限的情 况下，求最优广告策略，使所获利润最大． 利润＝收入－费用。收入函数题目中已给出，费用只有电台广告费和报纸广告费，即为二 者之和．这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题．解题思路：（1）审清题意，弄清 题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，建立函数关系．建立函数关系，要先设变量，然 后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．一般地说，设变量要根据题 意，求什么设什么．比如，当售价多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结 果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量， 而设结果中的成本为因变量．（3）求偏导数，并令其为 0，得到联立方程组．（4）解联立方 程组，得到符合题意的惟一驻点．（5）由问题的实际意义可得知，问题存在着最值．又本题 只有一个驻点，即可判断此点即是所求的极值点，也是最值点．（6）求出最值，写出答案． 五、课后作业 1.要造一个容积为 3 1000cm 的长方体铁箱，应如何选择尺寸方可使所用材料最
经济数学基础 第4章多元函数的微分 省? 2.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为P和P2;销量分 别为4和q2;需求函数分别为q1=24-02,q2=10-005P2,总成本函数为 C=35+40(4+q2),试问:厂家如何确定两个市场的产品售价,使其获得的总利 润最大?最大总利润是多少? 1.当长、宽、高均为10cm时,所用材料最省。2.当P1=80,P2=120时,可获最大 利润为605 130—
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——130—— 省？ 2. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 1 p 和 2 p ；销量分 别为 1 q 和 2 q ；需求函数分别为 1 2 1 q = 24 − 0. p ， 2 05 2 q =10 − 0. p ，总成本函数为 35 40( ) C = + q1 + q2 ，试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利 润最大？最大总利润是多少？ 1．当长、宽、高均为 10 cm 时，所用材料最省．2．当 p1 = 80, p2 =120 时，可获最大 利润为 605．
经济数学基础 第4章多元函数的微分 第二节批拾朗日乘数法 学习目标 拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一.通过本节的学习,会用拉 格朗日乘数法求解条件极值问题,尤其是经济分析中较简单的条件极值问题. 二、内容讲解 1.条件极值 在第4课的例2中,给定体积V求用料最省的无盖长方盒,即求S=xy+2xh+2yh 在条件xyh=V下的最小值 2.拉格朗日乘数法 求函数f(x,y,)在条件叭xy)=0下的条件极值,可用如下的拉格朗日乘数 法:令拉格朗日函数F=f(x,y)+0(x,y,z) 求 F=f(x,y,)+λ叭(x,y,=)的(无条件)极值 aF =0,=F F 0 =0(,y,=)=0 解此方程组 问题思考:什么是条件极值问题?常用的解决方法是什么? 答案一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值(或最小值)问题,但所 求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值(或最小值),而是求该函数在定义域中的指 定区域上的最大值(或最小值),这个指定区域由条件方程给出.解决条件极值问题常用的方 法是拉格朗日乘数法 三、例题讲解 用拉格朗日乘数法解上节中的例2
经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——131—— 第二节 拉格朗日乘数法 一、学习目标 拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一．通过本节的学习，会用拉 格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题． 二、内容讲解 1.条件极值 在第 4 课的例 2 中，给定体积 V，求用料最省的无盖长方盒，即求 S=xy+2xh+2yh 在条件 xyh=V 下的最小值． 2.拉格朗日乘数法 求函数 f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0 下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数 法：令拉格朗日函数 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 求 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 的（无条件）极值： 0, 0, = 0, = = z F y F x F = ( , , ) = 0 x y z F 解此方程组． 问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？ 答案 一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所 求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指 定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出．解决条件极值问题常用的方 法是拉格朗日乘数法． 三、例题讲解 用拉格朗日乘数法解上节中的例 2：