《经济数学基础》课程教学资源：第四章 多元函数的微分（4.2）复合函数与隐函数微分法

经济数学基础 第4章多元函数的微分 第二单元复合函数与隐函数微分法 第一二节文合郾数与隐函数求导法 学习目标 二元函数的复合函数与隐函数求导问题是本章的难点.要通过本节的学习,弄 清楚复合函数与隐函数求导的思路,通过练习,能熟练地求出较简单二元复合函数 和隐函数的偏导数 二、内容讲解 复合函数求导法 设=f(V),而4=a(x,y),"=V(xy)则 a: a: au a ay az az Ou, az av ax au ax av ax. ay Ou ay av ay 问题思考:多元复合函数的求导公式是什么?有什么特征? 如果:=f(a,",).=(xy)v=v(x,y).W=(x,y),则 av a: aw ax Ou dx av ax aw ax ay Ou dy av dy aw ay 复合函数偏导数的特征是,复合以后函数偏导数的个数由自变量的个数决定,每个偏导数 中所含的项数由中间变量的个数决定 三、例题讲解 例1:==esm(x+y) 有两种方法 解法1:(利用复合求导公式)设=x,V=x+y,则==esm 123

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——123—— 第二单元 复合函数与隐函数微分法 第一、二节 复合函数与隐函数求导法 一、学习目标 二元函数的复合函数与隐函数求导问题是本章的难点．要通过本节的学习，弄 清楚复合函数与隐函数求导的思路，通过练习，能熟练地求出较简单二元复合函数 和隐函数的偏导数． 二、内容讲解 复合函数求导法 设 z = f (u, v) ，而 u = u(x, y) ，v = v(x, y) 则 x v v z x u u z x z     +     =   ； y v v z y u u z y z     +     =   问题思考：多元复合函数的求导公式是什么？有什么特征？ 如果： z = f (u,v,w),u = u(x, y), v = v(x, y),w = w(x, y) ，则 x w w z x v v z x u u z x z     +     +     =   ； y w w z y v v z y u u z y z     +     +     =   复合函数偏导数的特征是，复合以后函数偏导数的个数由自变量的个数决定，每个偏导数 中所含的项数由中间变量的个数决定． 三、例题讲解 例 1: z e sin( x y) xy = + . 有两种方法： 解法 1：（利用复合求导公式）设 u = xy ，v = x + y ，则 z v u = e sin

经济数学基础 第4章多元函数的微分 azaz au az ex Ou Ox Ov Ox =(esin v). y+(e"cosv)-1= ye"sin( x+y)+e"cos(x+y) az au az e"sin v, u=xy v=x+y. ay Ou Oy av Oy=(e sin v)x+(e cos v).1 解法2:(直接求) in(x+y)+e ay a(sn(x+y) yesin(x+y)+e cos(x+y) 同理, ay au ay av a=e"smn)-x+(e"cosv)1 az az 例2: 求 解:设=xyV=x+y,则2=f(n, 5·图=y+g1=B+ ay au ay av ay=fx+∫1=xf"+∫ 0202 例3:=f(xy),求ax' 解:设l=x f(u, v) 1+∫”…y2=f"+y2f az au az ay Ou ay Ov ay=f.0+f. 2xy=2xyfr d= 例4 =f(3 求dx 124

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——124—— x v v z x u u z x z     +     =   = (e sin v) y + (e cosv)1 u u ye sin( x y) e cos(x y) xy xy = + + + z v u = e sin ，u = xy，v = x + y ； y v v z y u u z y z     +     =   = (e sin v) x + (e cos v)1 u u 解法 2：（直接求） x x y x y x x z xy xy   + + +   =   (sin( )) sin( ) e (e ) ye sin( x y) e cos(x y) xy xy = + + + 同理， y v v z y u u z y z     +     =   = (e sin v) x + (e cos v)1 u u 例 2: z = f (xy, x + y) ，求 y z x z     , ． 解: 设 u = xy,v = x + y ,则 z = f (u, v) x v v z x u u z x z     +     =   = f u   y + f v  1 u v = yf  + f  y v v z y u u z y z     +     =   = f u   x + f v  1 u v = xf  + f  例 3: ( , ) 2 z = f x xy ，求 y z x z     , ． 解: 设 2 u = x, v = xy ,则 z = f (u, v) x v v z x u u z x z     +     =   2 f 1 f y u v =   +   u v = f  + y f  2 y v v z y u u z y z     +     =   f f xy = u   0 + v   2 v = 2xyf  例 4 (3 ,sin ) 2 z = f x x ，求 dx dz ．

经济数学基础 第4章多元函数的微分 注意:f是二元函数:f(a) l=3x,V=snx,而z是关于,的二元函数,最终是关于x的一元函数 d az du az dv dx au dx av dx=f"·6x+fr·cosx 例5 求 注意:∫是一元函数,而是关于xy的二元函数.==f()=x2y 例6方程F(xy)=x+y-a=0(y≥0)其图形为上半圆周,相应的函数为 y=y(x) 解:显然,dx2√a2-x2y 另一种观点:x+y-a=0,x2+y2(x)-a2=0 d 2x+2yy’=0y 例7设函数y=(x)由方程xhy+e”-2=0所确定,求y(x) 解:无法由已知方程解出y(x).但此y(x)应满足xhy(x)+y(x)e”-2=0 Iny+x (y+xy)=0 25

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——125—— 注意： f 是二元函数： f (u, v) u 3x ,v sin x 2 = = ，而 z 是关于 u, v 的二元函数，最终是关于 x 的一元函数． x v v z x u u z x z d d d d d d   +   = f x f x u v =   6 +   cos 例 5 ( ) 2 3 z = f x y ，求 y z x z     , ． 注意： f 是一元函数，而 z 是关于 x, y 的二元函数． 2 3 z = f (u), u = x y 3 f 2xy x u f x z =    =    ； 2 2 f 3x y y u f y z =    =    例 6 方程 ( , ) 0( 0) 2 2 2 F x y = x + y − a = y  其图形为上半圆周，相应的函数为 2 2 y = y(x) = a − x ，求 dx dy . 解：显然， 2 2 2 2 d d a x x x y − − = y x = − 另一种观点： 0 2 2 2 x + y − a = ， ( ) 0 2 2 2 x + y x − a  : 2 2 0 d d x + yy  = x ， y x y = − 例 7 设函数 y = y(x) 由方程 ln + e − 2 = 0 xy x y y 所确定，求 y(x) 解:无法由已知方程解出 y(x) ．但此 y(x) 应满足 ln ( ) ( )e 2 0 ( ) + −  xy x x y x y x xy y y y y x x : ln e d d +   + + ye (y + xy ) = 0 xy

经济数学基础 第4章多元函数的微分 In yin+ y 由此解出p、y=x+e”+xye”,此为隐函数求导法 四、课堂练习 练习1已知z=∫(xx,y2),f可微,求aa 根据二元函数的复合求导公式,设=f("),=以(xy),"=v(xy) ay au Oy Ov ay由于J是24、V的二元函数,没有给出具体的表达式,所以n,v 只能用符号表示.对求偏导,x视为常数,z是通过中间变量、V为的一元函数,有 a=+o=9.x+9,2y 练习2方程2x-2xy+xy)=0确定了隐函数=(x,y),求 因方程有三个变量,所以只有两个变量是独立的.由要求可知是x和y的二元函数,求 8=时你y看作常数.方程两边求导,视2为中间变量 五、课后作业 1.已知二=f(xy2),∫可微,求aa 2.已知=f(x.=x+y"=x-y,∫可微.求在 3.已知=f(x,y)是由方程-3xy2=1所确定的隐函数.求 4.求由方程x2+y+z+x2-6=0所确定的隐函数z=f(x,y)在点(12-1) 处的全微分 126

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——126—— 由此解出 y : xy xy xy x y xy y y y y e e ln e 2 3 + + +  = − ，此为隐函数求导法. 四、课堂练习 练习 1 已知 ( , , ) 2 2 z = f xy x y ， f 可微．求 y z x z     , ． 根据二元函数的复合求导公式，设 z = f (u, v) ，u = u(x, y) ，v = v(x, y) 则 y v v z y u u z y z     +     =   .由于 f 是 u 、v 的二元函数，没有给出具体的表达式，所以 u z   ， v z   只能用符号表示．对 y 求偏导， x 视为常数， z 是通过中间变量 u 、v 为 y 的一元函数，有 y v v z y u u z y z     +     =   y v f x u f  2    +   = 练习 2 方程 2xz − 2xyz + ln( xyz) = 0 确定了隐函数 z = f (x, y) ，求 x z   ． 因方程有三个变量，所以只有两个变量是独立的．由要求可知 z 是 x 和 y 的二元函数，求 x z   时将 y 看作常数．方程两边求导，视 z 为中间变量． 五、课后作业 1.已知 ( , ) x y z = f xy ， f 可微．求 y z x z     , ． 2.已知 z = f (u,v),u = x + y,v = x − y ， f 可微．求 dz ． 3．已知 z = f (x, y) 是由方程 3 1 3 z − xyz = 所确定的隐函数．求 dz ． 4．求由方程 6 0 3 3 3 + + + xyz − = x y z 所确定的隐函数 z = f (x, y) 在点 (1,2,−1) 处的全微分．

经济数学基础 第4章多元函数的微分 u =xy, v=2 yf, f,, x.,'+If. C +f )dx +( -f )dy (xdy+ ydx) (dx+l ldy) 27

经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——127—— 1．令 x y u = xy, v = ，  +     −    u v u v f x f x f x y y f 1 , 2 ；2． f f x f f y ( u v )d ( u v )d  −  +  +  3． ( d d ) 2 x y y x z xy z + − ；4． (d 11d ) 5 1 − x + y