例1.讨论等比级数（又称几何级数） 0 ∑ag”=a+ag+ag2+.+ag”+.(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若9≠1，则部分和 Sn=a+ag+ag2+.+agm-1=aag" 1-q 当g<1时，由于1img”=0,从而1mSn=g n→00 n->o∞ 因此级数收敛，其和为 当|g>1时，由于1img”=oo,从而lim S=o∞， n-→0 n->oo 因此级数发散 考HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2).若9=1，则 当q=1时，Sn=na→oo,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1)m-a+ a, n为奇数 因此 0 n为偶数 从而lim S不存在，因此级数发散 n->oo 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.判别下列级数的敛散性 00 n+1 00 (2) n=1 Lmnio 解：(1) S,-in2 tin =d2D0皮-lg)++Inn+- =ln(n+1)>∞(n→∞》 技巧： 所以级数(1)发散： 利用“拆项相消”求和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − ln1) + (ln3 − ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → ( n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束