fn(x)3f(x)(n→oo),x∈D. 函数列{f}在D上不一致收敛于f的正面陈述是： 存在某正数&，对任何正数N,都有某一点x。∈D和 某一正整数n。>N(注意：x,与n,的取值与N有关)， 使得 f,(x)-f(x)≥ 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 f x f x n x D n ( ) ( )( ) , . 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: n 函数列 f 存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 0 x D 和 0 0 ( 注意: x n 与 的取值与 N 有关 ), 某一正整数 n N 0 使得 0 0 0 0 ( ) ( ) . n f x f x
3、函数列一致收敛判别法 定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列{f} 在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数8， 总存在正数N,使当n,m>N,对一切x∈D,都有 |fn(x)-fm(x)kε. (3) 定理13.2（余项准则)函数列f,在区间D上一致 收敛于的充分必要条件是： limsupf(x)-f(x)=0. (4) n-→oxeD 前页
前页 后页 返回 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { }n f 在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 n m N , , 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (3) f x f x n m 定理13.2（余项准则） { }n 函数列 f D 在区间 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是: limsup | ( ) ( ) | 0. (4) n n x D f x f x 3、函数列一致收敛判别法
注柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么， 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛，而使用余项准则需要知道极限函数，但使用 前页 后页 返回
前页 后页 返回 注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用
设{un(x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式 ()+u2(x)+…+un(x)+…,x∈E (5) 称为定义在E上的函数项级数，简记为∑4，(x)或 n=1 ∑(x).称 S(x)=∑4(x,x∈E,n=1,2 (6) k-1 为函数项级数(9)的部分和函数列， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 { ( )} 设 u x E n 是定义在数集 上的一个函数列,表达式 u x u x u x x E 1 2 ( ) ( ) ( ) , (5) n 称为定义在E上的函数项级数, 1 ( ) n n u x 简记为 或 ( ). u x n 称 1 ( ) ( ), , 1,2, (6) n n k k S x u x x E n 为函数项级数(9)的部分和函数列
若x,∈E,数项级数 41(xo)+42(xo)+…+4n(x)+… (7) 收敛，即部分和S(x)=∑4（化）当n→o时极限 k=1 存在，则称级数（⑤）在点x,收敛，x,称为级数（⑤）的收 敛点.若级数(7)发散，则称级数(5)在点x发散.若 级数(T)在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数 (⑤)在D上收敛.若D为级数（⑤）全体收敛点的集合， 这时就称D为级数（⑤）的收敛域.级数（⑤）在D上每一 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 若 数项级数 x E , u x u x u x 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) (7) n 0 0 1 ( ) ( ) n n k k S x u x 收敛, 即部分和 当 n 时极限 0 x 0 存在, 则称级数(5)在点 收敛, x 称为级数(5)的收 敛点. 若级数(7)发散, 则称级数(5)在点 0 x 发散. 若 级数(7)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数 (5)在 D 上收敛. 若 D 为级数(5)全体收敛点的集合, 这时就称 D为级数(5)的收敛域. 级数(5)在 D上每一