s9.1定义与基本性质第九章欧氏空间一、欧几里得空间的定义定义1V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为内积，是指对任意的α,β,EV，对任意的kER，存在唯一的(α,β)ER, 使得1) (α,β) =(β,α);2) (ka,β) = k(α,β3) (α+β,) = (α,) + (β,)4)(α,α)≥0 ，并且α=0 当且仅当 (α,α)=0这时，称V是欧几里得空间公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间
公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性. 定义1 V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为 内积，是指对任意的α,β,γ∈V，对任意的k∈R, 存在唯 一的(α,β)∈R, 使得 1) (α,β) = (β,α)； 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (α,α) = 0 这时，称V是欧几里得空间. 在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均 为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间. 一、欧几里得空间的定义 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质
89.1定义与基本性质第九章欧氏空间例1 R"中，对任意的=(，,x,),n=(y,",y,)ER",规定（,n）=X,yi+＋X,yn’则R"对此构成欧氏空间证明：显然(S,n)ER,且具唯一性对任意的,n,ER",kER,1) (E,n)=xiyi+ : : : +xnyn=yixi+: + y,x, =(n,).2) (kE,n)=kxiyi+ : : . +kxny,=k(xiyi+ : : +xny)= k (S,n) .3)($+n, S)=(xi+yi)z,+ · . · +(x,+yn)z,=(xiz)+ . . . +xnzn)+(yizi + : : · +ynZn)=(S,S)+(n,S).4)(S,F)=x,2 +···+x,2≥0.而E=0 当且仅当=X,= 0 当且仅当(,F)= x,2 + ···+x,2=0.X =X =故R"关于（En）构成一个欧氏空间
例1 Rn中，对任意的ξ= (x1 , ···, xn ), η= (y1 ,···, yn )∈Rn , 规定 (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则Rn 对此构成欧氏空间. 证明：显然(ξ,η)∈R, 且具唯一性. 对任意的ξ,η,ζ∈Rn , k∈R, 1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn ) = k (ξ,η) . 3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1 )z1 + ··· + (xn+yn )zn = (x1 z1+ ··· + xn zn ) + (y1 z1 + ··· + yn zn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x1 2 + ··· + xn 2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当 x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x1 2 + ··· + xn 2 = 0. 故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间. □ 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质
S9.1定义与基本性质第九章欧氏空间例2C(a，b)=（定义在[a，b]上的实值连续函数?关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间对任意的f(x), g(x) EC(a, b), (f(x),g(x)= [~ f(x)g(x)dx证明分析：根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条公理成立，故C(a,b)关于（f, g）构成欧氏空间.注：R[xl,R[xl关于如上定义的（f,g）也构成欧氏空间
例2 C(a, b) = {定义在[a, b]上的实值连续函数}关于如下规 定的二元函数构成R上的欧氏空间. 对任意的f(x), g(x)∈C(a, b), 证明分析： 根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中4条 公理成立，故C(a, b)关于（f, g）构成欧氏空间. 注： R[x], R[x]n 关于如上定义的（f, g）也构成欧氏空 间. ( ( ), ( )) ( ) ( ) b a f x g x f x g x dx = 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质
S9.1定义与基本性质第九章欧氏空间基本性质5(α, kβ) = k(α, β)(α, kβ) = (kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) (α,β+y) = (α,β) + (α,y)(α,β+) = (β+,α) =(β,α) + (,α)= (α,β) + (α,)(0,α)=(α,0)=0 （对任意的αEV)(0,α) = (0 : 0,α) = 0, (0,α) = 0 = (α,0)8）对任意的βEV，(αβ)=0，则α=0取β=α， 则(α,α)= 0,据公理4得α= 0、9)(a,α, b,β,)=ab,(α, β,)
二 基本性质 5） (α, kβ) = k(α, β) 1 1 1 1 ( , ) ( , ) r s r s i i j j i j i j i j i j a b a b = = = = = 第九章 欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 ◆ (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) . 6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ) ◆ (α,β+γ) = (β+γ,α) = 7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V ) (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ) . ◆ (0,α) = (0·0,α) = 0, (0,α) = 0 = (α,0) . 8) 对任意的β∈V，(αβ) = 0, 则α= 0 取β=α, 则 (α,α) = 0, 据公理4得α= 0 . 9)