定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,6),u≤M 又设1ima=0,即6>0,362>0，当x∈U(xo,δ2) X→X0 时有a下司 取6=min{61,δ2}，则当x∈U(xo,δ)时，就有 uw=uax|≤M.&=& 故lim ua=0,即ua是x→xo时的无穷小. X→X0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小. 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 定理 4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 证 : 设 ,),( δ 10 xx D ∈∀ ∪ ≤ Mu 又设 ,0lim0 = → α xx 即 ∀ ε > ,0 ,0 ∃ δ 2 > 当 ),( δ 20 xx D ∈ ∪ 时, 有 M ε α ≤ 取 { },min δ = δ δ 21 则当 ),(xx 0 δ D ∈ ∪ 时 , 就有 u α = u α ε ε ≤ ⋅ = M M 故 ,0lim0 = → u α xx 即 u α 是 0 → xx 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小
例2求lim si 1.(课本习题1-55(2)} x→00X 解：sinx≤1 sin x V= lim=0 x→0X 利用定理4可知li sinx=0. x→0X 说明：y=0是y=snx 的渐近线 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 o y x . sin lim x x x ∞→ 解 : ∵ x ≤1sin 0 1 lim = x ∞→ x 利用定理4 可知 .0 sin lim = ∞→ x x x x x y sin = 说明 : y = 0 是 x x y sin = 的渐近线 . 例2 求 （课本习题 1 －5 5 （ 2 ） ）
例3求lim(x3-3x+5) 解：1im(x-3x+5)=limx3-lim3x+lim5 x2 x→2 -(网小-3调x+5 x2 =23-3×2+5=7 例4 x2+1 lim- x2x3-3x+5 解：由例3得，1im(x-3x+5)=7≠0 X→2 x2+1 lim(x2+1) limx2+liml lim x→2 →2 X→2 2x3-3x+5 1im(x3-3x+5) 7 x→2 22+15 7 7 2009年7月3日星期五 8 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 3 2 lim( 3 5). x x x → 例3 求 − + 3 2 lim( 3 5) x x x → − + 3 2 limx x → = 2 lim 3 x x 解 → : − 2 lim 5 x → + ( ) 3 2 limx x → = 2 3limx x → − + 5 3 = 2 −3 2 × + 5 = 7 例 4 2 3 2 1 limx 3 5 x → x x + − + 解 : 由例 3得， 3 2 lim( 3 5) 7 0 x x x → − + =≠ 2 3 2 1 limx 3 5 x → x x + − + 2 2 3 2 lim( 1) lim( 3 5) x x x x x → → + = − + 2 2 2 lim lim1 7 x x x → → + = 2 2 1 7 + = 5 7 =