证明:∨xA(x)-xB今彐x(A(x)→B VxA(x)→B 台ηVxA(x)VB 台丑x1A(x)VB 台彐x(1A(x)→B 台彐x(A(x)→B)
证明: xA(x)→B x(A(x)→B) xA(x)→B ┐xA(x)∨B x┐A(x)∨B x(┐A(x)→B) x(A(x)→B)
量词分配等值式 设A(x),B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,则 (1)x(A(x)∧B(x)今VxA(x)∧YxB(x) (5.5) (2)彐x(A(x)∨B(x)今彐xA(x)V彐xB(x) 口例如,“联欢会上所有人既唱歌又跳舞”和“联欢会上所 有人唱歌且所有人跳舞”,这两个语句意义相同。故有 (1)式。 口由(1)式推导(2)式 Vx(A(x)∧B(x))分xA(x)∧xB(x) Vx(1A(x)∧ηB(x)分VxA(x)∧x1B(x) 彐x(A(x)VB(x))分(xA(x)V彐xB(x) 彐x(A(x)VB(x) 彐xA 彐xB(
量词分配等值式 设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则 （1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x) （5.5） ❑ 例如，“联欢会上所有人既唱歌又跳舞”和“联欢会上所 有人唱歌且所有人跳舞” ，这两个语句意义相同。故有 (1)式。 ❑ 由(1)式推导(2)式 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) x(┐A(x)∧┐B(x)) x┐A(x)∧x┐B(x) ┐x(A(x)∨B(x)) ┐(xA(x)∨xB(x)) x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
阶遇辑等值演算的三条原则 口置换规则:设Φ(A)是含公式A的公式,Φ(B)是用公式B取代 d(A)中所有的A之后的公式,若A→>B,则Φ(A分Φ(B)。 口换名规则:设A为一公式,将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号,公式的其余部分不变,设所得公式为A 则A'A。 口代替规则:设A为一公式,将A中某个自由出现的个体变项的 所有出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替,A中其余部 分不变,设所得公式为A',则A'<→A ‖说明》口一阶還楫中的置换规则与命题還辑中的置换 规则形式上完全相同。只是在这里A.B是 阶逻辑公式
一阶逻辑等值演算的三条原则 ❑ 置换规则：设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代 Φ(A)中所有的A之后的公式，若AB，则Φ(A)Φ(B)。 ❑ 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。 ❑ 代替规则：设A为一公式，将A中某个自由出现的个体变项的 所有出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，A中其余部 分不变，设所得公式为A'，则A'A。 说明 ❑ 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换 规则形式上完全相同，只是在这里A，B是一 阶逻辑公式
例5,1 例5.1将下面公式化成与之等值的公式,使其没有既是约束 出现又是自由出现的个体变项。 (1)VXF(x, y, z)-3yG(x, y, z) (2)x(F(x,y)→彐yG(x,y,z) 解答(1)yxF(x,y,z)→3yG(x,y,z) 台VtF(t,y,z)→3yG(x,y,z) (换名规则) 台VtF(t,y,z)→彐wG(x,w,z) (换名规则) 或ⅤxF(x,y,z)→彐yG(x,y,z) 台xF(x,t,z)→彐yG(x,y,z) (代替规则) 分VxF(x,t,z)→彐yG(w,y,z) (代替规则)
例5.1 例5.1 将下面公式化成与之等值的公式，使其没有既是约束 出现又是自由出现的个体变项。 (1)xF(x,y,z)→yG(x,y,z) (2)x(F(x,y)→ yG(x,y,z)) (1)xF(x,y,z)→ yG(x,y,z) tF(t,y,z)→yG(x,y,z) (换名规则) tF(t,y,z)→wG(x,w,z) (换名规则) 或xF(x,y,z)→yG(x,y,z) xF(x,t,z)→yG(x,y,z) (代替规则) xF(x,t,z)→yG(w,y,z) (代替规则) 解答
例5,1的解答 解答(2)yx(F(x,y)→yG(x,y,z) 台Vx(F(x,t)→彐yG(x,y,z)) (代替规则) 或x(F(x,y)→3yG(x,y,z)) 台Vx(F(x,y)→彐tG(x,t,z)) (换名规则)
例5.1的解答 (2)x(F(x,y)→yG(x,y,z)) x(F(x,t)→yG(x,y,z)) (代替规则) 或x(F(x,y)→yG(x,y,z)) x(F(x,y)→tG(x,t,z)) (换名规则) 解答