5.2 例5.2证明 (1)Vx(A(x)VB(x)<≠〉xA(x)VvxB(x) (2)彐x(A(x)∧B(x))<≠>彐xA(x)∧彐xB(x) 其中A(x),B(x)为含x自由出现的公式。 证明只要证明在某个解释下两边的式子不等值。 取解释l:个体域为自然数集合N; (1)取F(x):x是奇数,代替A(x); 取G(x):x是偶数,代替B(x)。 则yx(F(x)∨G(x))为真命题, 而VxF(x)∨∨xG(x)为假命题。 两边不等值
例5.2 例5.2 证明 （1） x(A(x)∨B(x)) <≠> xA(x)∨xB(x) （2） x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x) 其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。 只要证明在某个解释下两边的式子不等值。 取解释I：个体域为自然数集合N； (1)取F(x)：x是奇数，代替A(x)； 取G(x)：x是偶数，代替B(x)。 则x(F(x)∨G(x))为真命题， 而xF(x)∨ xG(x)为假命题。 两边不等值。 证明
5.2 证明(2)3x(A(x)∧B(x)<≠〉3xA(x)∧彐xB(x) 彐x(F(x)∧G(x):有些x既是奇数又是偶数为假命题 而彐xF(x)∧彐xG(x):有些x是奇数并且有些x是偶数为真 命题。 两边不等值。 说明 全称量词“V”对“”无分配律。 存在量词“彐”对“∧”无分配律。 口当B(x)换成没有x出现的B时,则有 Vx(A(x)∨B)令VxA(x)VB 彐x(A(x)∧B)彐xA(x)∧B
例5.2 (2)x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x) x(F(x)∧G(x))：有些x既是奇数又是偶数为假命题； 而xF(x)∧xG(x)：有些x是奇数并且有些x是偶数为真 命题。 两边不等值。 证明 说明 ❑ 全称量词“”对“∨”无分配律。 ❑ 存在量词“”对“∧”无分配律。 ❑ 当B(x)换成没有x出现的B时，则有 x(A(x)∨B) xA(x)∨B x(A(x)∧B) xA(x)∧B
例5,3消去量词 例5.3设个体域为D={a,b,o},将下面各公式的量词消去: (1)Vx(F(x)→G(×)) (2)yx(F(x)V彐yG(y) (3)彐xyF(x,y) 解答(1)Yx(F(x)→G(x) 令(F(a)→G(a)∧(F(b)→G(b)∧(F(c)→G(c) (2)x(F(x)∨yG(y)) 台VxF(x)V彐yG(y) (公式5.3) 台(F(a)∧F(b)∧F(c))V(G(a)∨G(b)∨G(c) 说明》口如果不用公式(53将量词的辖域缩小,演算过程较 长。注意,此时yGy是与x无关的公式B
例5.3—消去量词 例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去： (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∨ yG(y)) (3) xyF(x,y) 说明 ❑ 如果不用公式(5.3)将量词的辖域缩小，演算过程较 长。注意，此时yG(y)是与x无关的公式B。 解答 (1)x(F(x)→G(x)) (F(a)→G(a)) ∧ (F(b)→G(b)) ∧ (F(c)→G(c)) (2)x(F(x)∨ yG(y)) xF(x)∨yG(y) (公式5.3) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∨G(b)∨G(c))
例5,3消去量词 (3)彐xVyF(x,y) 兮彐x((x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) 分((a,a)∧F(a,b)∧F(a,c) VGF(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c)) VGF(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c)) 在演算中先消去存在量词也可以,得到结果是等值的。 彐xyF(x,y) eVyF (a, y)V VyF (b, y)V VyF(c, y) 分(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c)) V(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c)) VGF(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
例5.3—消去量词 (3) xyF(x,y) x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c)) ∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c)) ∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c)) 在演算中先消去存在量词也可以，得到结果是等值的。 xyF(x,y) yF(a,y)∨ yF(b,y) ∨ yF(c,y) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c)) ∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c)) ∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
例5,4 例5.4给定解释如下: (a)个体域D={2,3} (b)D中特定元素a=2 (c)D上的特定函数(x)为:f(2)=3,f(3)=2。 (d)D的特定谓词 G(xy)为:G(2,2)G(2,3)G(3,21,G(3,30。 L(xy)为:L(2,2L(3,31,L(2,3)L(3,20。 F(x为:F(2)=0,F(3) 在解释|下求下列各式的值: (1)x(F(x)∧G(x,a)) 2)彐x(F(f(x)∧G(x,f(x) (3)Vx3yL(x, y) (4)彐yVx(x,y)
例5.4 例5.4 给定解释I如下： （a）个体域 D＝{2,3} （b）D中特定元素 （c）D上的特定函数(x)为： （d）D的特定谓词 a = 2 f(2)= 3，f(3)= 2。 G (x,y )为：G (2,2)=G (2,3)=G (3,2)=1，G (3,3)= 0。 L (x,y )为：L (2,2)= L (3,3)=1，L (2,3)= L (3,2)= 0。 F (x)为：F (2)= 0，F (3)=1。 在解释I下求下列各式的值： （1）x(F(x)∧G(x,a)) （2）x(F(f(x))∧G(x,f(x)) （3）xyL(x,y) （4）yxL(x,y)