(3)f(x)=x2;g(x)=(x+1)2; (4)x)=x;g(x) 2、讲解新课 总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1求下列函数的定义域: (1)y=√x-1√x+1 (2)y=x2-3 分析:一般来说,如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范 围.当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义 的公共部分的集合 解:(1)由 l≥0 得 jx≥L x+1≥0,x≥-1 即x≥21,故函数y=√x-1·√x+1的定义域是[,+∞) (2)由 即-√5≤x≤√5且x≠±√3 5-x2≥0 故函数的定义域是{x-√5≤x≤√5且x≠±√3 点评:求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围,列出不等式(组) 然后求出它们的解集.其准则一般来说有以下几个 ①分式中,分母不等于零 ②偶次根式中,被开方数为非负数 ③对于y=x°中,要求x≠0 变式练习1求下列函数的定义域:(1)y=(+B:(2)y=2x+3-+1 x-x 解(2)由 x+l≠0. 得 x|-x>0, (x<0.故函数y=(x+D)是{x0,且x≠-1 x 2x+3≥0 (4)由{2-x>0,即{x<2,∴一≤x<2,且x≠0 x≠0 3 故函数的定义域是{x一≤x<2,且x≠0} 说明:若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x,在集合B都有一个值输出值y与之 对应.我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域 因此我们可以知道:对于函数∫A—B而言,如果如果值域是C,那么C≌B,因此不能将
6 （3）f(x)＝x 2 ；g(x)＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f(x) ＝|x|；g(x)＝ x 2． 2、讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 3、典例 例 1 求下列函数的定义域： （1） y = x −1 x +1 ； （2） 2 3 2 5 3 1 x x y + − − = ； 分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范 围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义 的公共部分的集合． 解 ： （1）由 + − 1 0, 1 0, x x 得 − 1, 1, x x 即 x 1 ，故函数 y = x −1 x +1 的定义域是 [1，+ ) ． （2）由 − − 5 0, 3 0, 2 2 x x 得 − 5 5, 3, x x 即 − 5 ≤x≤ 5 且 x≠± 3 ， 故函数的定义域是{x| − 5 ≤x≤ 5 且 x≠± 3 }． 点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的 x 的取值范围，列出不等式（组）， 然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个： ① 分式中，分母不等于零． ② 偶次根式中，被开方数为非负数． ③ 对于 0 y = x 中，要求 x≠0． 变式练习 1 求下列函数的定义域： （1） x x x y − + = | | ( 1) 0 ；（2） x x y x 1 2 1 2 3 + − = + − ． 解 （2）由 − + | | 0, 1 0, x x x 得 − 0, 1, x x 故函数 x x x y − + = | | ( 1) 0 是{x|x<0，且 x≠−1 }． （4）由 − + 0, 2 0, 2 3 0, x x x 即 − 0 2, , 2 3 x x x ∴ 2 3 − ≤x＜2，且 x≠0， 故函数的定义域是{x| 2 3 − ≤x＜2，且 x≠0}． 说明：若 A 是函数 y = f (x) 的定义域，则对于 A 中的每一个 x，在集合 B 都有一个值输出值 y 与之 对应．我们将所有的输出值 y 组成的集合称为函数的值域． 因此我们可以知道：对于函数 f：A B 而言，如果如果值域是 C，那么 C B ，因此不能将
集合B当成是函数的值域 我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义域都确定了 那么函数的值域也就确定了 例2.求下列两个函数的定义域与值域 (1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0, (2)f(x)=(x1)2+1 解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3}, f-1)=5,f0)=2,f(1)=1,f2)=2,A3)5, 所以这个函数的值域为{1,2,5} (2)函数的定义域为R,因为(x1)2+121,所以这个函数的值域为{y|y≥1} 点评:通过对函数的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,来求出函数的值域的方法我 们称为观察法 变式练习2求下列函数的值域: (1)y=x2-4x+6,x∈[,5) (2)y 解:(1)y=(x-2)2+2 作出函数y=x2-4x+6,x∈[l,5) 的图象,由图观察得函数的值域为 {y|2≤y<11} (2)解法一:y=-41=34,显然一可取0以外的一切实数,即所求函数的值域为 x+1 x+1 ≠3}. 解法二:把y=3X+看成关于x的方程,变形得(-3x+(y+1=0,该方程在原函数定义域{x ≠-1}内有解的条件是 3≠0, 解得y≠3,即即所求函数的值域为{yb≠3 点评:(1)求函数值域是一个难点,应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法 (2)求二次函数在区间上的值域问题,一般先配方,找出对称轴,在对照图象观察 4、课堂小结 (1)同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 (2)求解函数值域问题主要有两种方法:一是根据函数的图象和性质(或借助基本的函数的值域) 由定义域直接推算;二是对于分式函数,利用分离常数法得到y的取值范围
7 集合 B 当成是函数的值域． 我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了， 那么函数的值域也就确定了． 例 2．求下列两个函数的定义域与值域： （1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}； （2）f (x)=( x-1)2+1． 解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}， f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}． （2）函数的定义域为 R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1} 点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我 们称为观察法． 变式练习 2 求下列函数的值域： （1） 4 6 2 y = x − x + ， x[1，5) ； （2） 1 3 1 + − = x x y ； 解：（1） ( 2) 2 2 y = x − + ． 作出函数 4 6 2 y = x − x + ，x[1，5) 的图象，由图观察得函数的值域为 {y | 2 ≤ y ＜ 11}． （2）解法一： 1 3( 1) 4 + + − = x x y 1 4 3 + = − x ，显然 1 4 x + 可取 0 以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y ≠3｝． 解法二：把 1 3 1 + − = x x y 看成关于 x 的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x|x ≠－1｝内有解的条件是 y－3≠0， － y＋1 y－3 ≠－1 ，解得 y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝． 点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法； （2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察． 4、 课堂小结 （1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 （2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域） 由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到 y 的取值范围． A B C x f (x) f 1 5 3 112 y O x