2.定义.设∑为光滑的有向曲面，在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,2),Q(x,y,2),R(xy,),若对Σ的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 Iim∑P(5,n,5(AS)E 20 i=1 +Q(5,7,5,)(△S,)Ex+R(5,15i)△S)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 Pdyd=+Qdzdx+Rdxdy 卫Q,R叫做被积函数，Σ叫做积分曲面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 页下页返回结束
设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 Q i i i Si zx + ( , , )( ) 分, Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
奶Pdyd:称为P在有向曲面2上对y,的曲面积分： 儿d:dx称为0在有向曲面上对：，x的曲面积分 儿Rdxdy称为R在有向曲面Σ上对xy的曲面积分. 引例中，流过有向曲面Σ的流体的流量为 Φ=j∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 若记∑正侧的单位法向量为n=(cosa,cos阝，cosy) 令 ds=nds=(dydz,dzdx,dxdy) 4=(P(x,y,z),Q(x,y,=),R(x,y,=)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rd xd y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; = Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = (cos , cos , cos ) d S = nd S = (d yd z, d zd x, d xd y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Pdyd=+Qdzdx+Rdxdy =八2inas=j八s.ds 3.性质 (1)若∑=U∑，且Σ，之间无公共内点，则 i=] 儿不ds-立3Aas (2)用Σ表示Σ的反向曲面，则 儿不ds=-儿不ds HIGH EDUCATION PRESS 是上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示 的反向曲面, 则 Ad S i A d S Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = A nd S = Ad S 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理设光滑曲面∑：z=(x,y),(x,y)∈D取上侧 R(x,y,z)是∑上的连续函数，则 J∬R(x,y,)dxdy=J∬DR(x,(x,y》dxdy 证2 R)dxdy=∑R5,5△Ny i=1 ,∑取上侧(AS)w=(Ao)xy 51=2(5,7,) lim λ→0 ∑R5,n,z(5,n》(AC,)y =∬ R(x,y,=(x,y))dxdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 上的连续函数, 则 R(x, y,z)d xd y ( , , ) = D x y R x y z(x, y) d xd y 证: 0 lim → = = n i 1 i xy (S ) i xy ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i = z 0 lim → = = n i 1 ( , , ) R i i i xy ( ) R x y z x,y x y Dxy ( , , ( ))d d = R(x, y,z)d xd y 机动 目录 上页 下页 返回 结束