可以同样推出,若f(x,y)在D={ab×e,d]上可积,且对所有 y∈ca,积分(xy)dx都存在,则fxy先对x,再对y的累次积分 rdy(xy)dx也存在,且成立 f(x, y)dxdy d yl f(x, y)dx 特别地有:设一元函数f(x)在闭区间[a,b上可积,g(y)在闭区间 c,d上可积。则成立 r/()g(y)dxdy=(/(g()d yd [a,b]×[c,d ∫/( r: g(p)d)dx=/( dx. g()dy
特别地有：设一元函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上可积， g( y) 在闭区间 [c,d]上可积。则成立 [ , ][ , ] ( ) ( )d d a b c d f x g y x y = b a d c f (x)g( y)d y d x = b a d c f (x) g( y)d y d x = b a d c f (x)d x g(y)d y 。 可以同样推出，若 f (x, y) 在 D = [ , ] [ , ] a b c d 上可积，且对所有 y [c,d]，积分 b a f (x, y)d x 都存在，则 f (x, y) 先对x，再对 y 的累次积分 d c b a d y f (x, y)d x也存在，且成立 f x y x y ( , )d d D = d c b a d y f (x, y)d x
例13.2.1计算柱面 x2+2=R2与平面y=0和 R y=a(a>0)所围立体的体 积 解由对称性,所求立体 的体积V是该立体在第一卦 图1322 限部分的体积的4倍。而它 在第一卦限的的部分是以曲面z=√R2-x2为顶,以x平面上区域 D=[0,R]×0,a为底的曲顶柱体。因此 x dxdy 4「dx「√R2-x2dy=4a√R2-x2dx=amR2
例 13.2.1 计算柱面 x z R 2 2 2 + = 与平面 y = 0和 y = a (a 0) 所围立体的体 积。 解 由对称性，所求立体 的体积V 是该立体在第一卦 限部分的体积的 4 倍。而它 在第一卦限的的部分是以曲面 2 2 z = R − x 为顶，以 xy平面上区域 D = [0, ] [0, ] R a 为底的曲顶柱体。因此 = − D V 4 R x d x d y 2 2 = − = − = R a R x R x y a R x x a R 0 2 0 2 2 0 2 2 4 d d 4 d 。 z 2 2 2 x + z = R a y x 图 13.2.2 o