1.2.多元函数的微分 因为它们分别是前述等式两端在h,k→0之下的极限值 注]:在[引理2]中二阶偏导数函数的连续性的条件是需要的。试考虑下 述定义于R2的函数∫(x,y) f(a, y) (x,y)≠(0,0) 则当(x,y)≠(0.,0)时,易求得 y+4x2y3-y5 ax (x,y) af 4c3y2-c4y y (x2+y2)2 另一方面,当(x,y)=(0.0)时,由偏导数的定义极限式易求得|o0 由此可见 lim (0,0) 1(0,0)=lim h 类似地’亦可算得 af aya.xlo.o) 所以一般来说动≠m° 【例子】:设f(x,y)为二阶连续可微函数。令x= rcos 6,y=rsin0, 其中r,θ为相互无关的独立自变元。试验证 afaf af 1af 1 a2f an2+ay2=a+7a+严2 解:先求一阶偏导函数 cos 0+-sin 0 y ax ay 基础分析学之
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第一章.多元函数的连续性与微分 再求二阶偏导函数 af0,afax,o,f、oy a' cos 0, af a(cos 8) af a(sine)a ar2 dr dx dri 16+ Oy Ox/ar a4 af a(sin e)ay af 2 af in20 02f n t cos a r2 ay 其中用上了」和 a(cos 0)ar, a(cos 8)ay a(cos 8) 0 a(sin 0)ar, a(sin 0)ay a(sin 0) dr ar dy ar ar 同理 af0,0f、0,Of、Oy af 853+ a0/88+ af ax af af af } Oy(r2 co2 af .2 sin 6 cos 0 af drdy - T sin 由此可见 af 1 8f a2f a2f 1 af 6+ aaa dy 2 r dy f a 1 af ay2 r ar 即得所求证者 基础分析学之
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1.2.多元函数的微分 设∫(x1,,xn)是一个开子集D上的k-阶连续可微函数,A(a1 和B(a1+dx1,…,an+drn)是其中取定的邻近两点,而且连结A,B两 点的直线段完全位于D之内,亦即对于所有0<t≤1 dxn)∈D 令F(t)=f(a1+tdx1,,an+tdxn)(因为a;和dr;都是取定之常数 所以它乃是一个t的单元函数),不难看到F(t)是在[0,1]上k-阶连 续可微的。所以,我们可以直接用单元的泰勒公式得出 f(ai +dr,., an+d n)=F(1) =F(0)+F"(0)+F"(0)+…+ F(k-1)(0)+F((0) 由此可见,我们只要去计算F(0),…,F(-1)(0)和F((0)即可得出多 元k-阶连续可微函数的泰勒公式·例如 F0)=∑a df 而F"(0)等等的逐步计算其本身乃是一个自然的好习题。 【习题】 (1)设∫(x,y,x)为二阶连续可微函数。令x= psin e cos y,y= psin esinφ2, z=pcos,其中p,0,φ为相互无关的独立自变元。试验证 f af af 82f 2 af 1 8f a2f a r2 ay 2 az2 ap2 pap p2 a02 p2 0 ae P sina 提示:先把自变元(x,y,x)转换为(r,,x)’其中x=rcosφ, y=rsinφ’由例题结论即得 f a af 8f 1af 然後再用r=psinθ,φ=φ,z=pcosθ转换上述等式右方°] 基础分析学之
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函0的 (】):试证证若面′A点展可,中 炜中 (3):写2下°函0证(需南。的A点展可 ()求飞设续(下 1)求吧续赫 ()求设续泰设 与局题部高之
➌➎➍ ➏✎➐❱➑✄➒✾➓◗➔■→❍➣↕↔✓➙↕➛❍➜✢➝➟➞✞➠ ➡✱➢♦➤➦➥✄➧✆➨✚➩✞➫✗➭ ➓◗➔✚➯✚➲✚➳↕➵✾➸✾➺ ➻✑➼ ➼ ➡➾➽➚➤➶➪ ➘➹ ➴✐➷➬❣➮✲➱ ✃⑧❐✯❒ ✃❰❮➴ ✃❰❮➬ Ï Ï Ï Ï Ð✑Ñ❮ ➴ Ñ❮ ➬ ➡➾Ò➚➤➦➥✾Ó✾ÔÖÕ❊× →✠➣➩❱➡➾➽ÙØ❴➽➚➤ÛÚ ↔❍➯✓➲❍➳✆➵↕➸ÝÜ➶Þ✄ß✠à✾á②➞✆â❊ã✚äæåæç ➡❾èé➤ ❒ ➡❮ Ø❪ê❰➤ë➪✕ì❣è✐íî➡ ❮ðï ê❰➤ ➡❾è✐èé➤ ❒ ➡❮ Ø❪ê❰➤ë➪❍ñ✌ò❴ó ➡❾è✐è✐èé➤ ❒ ➡❮ Ø❪ê❰➤ë➪❍ñ✌òõô✌ö♦ì⑧ê ÷✚ø ➠❍ù✸ú✕û❊à
第二章 多多关明的分 具上一章同样也们就是我们著要研者连推性广它分学一定具理定给 集偏上连推{它者要研∫样者它分a都(地开)我具偏上 D点者处部而性逼且学≤是一定连推{它要研j它分法称分析二基 础者开析之精要学再者它分者计算j来j称≤是 adua 者逐步运j之j代研分配律者展给丶集项样是十分都朴丶易算、好j 者学「是们著它分者初步广基础学 但是具各种各样研理分析冋基遇到者问题样通常乃是们著而且们关 系者椈亦即基涉及者研理析系含有们定参变量桶而些参变量二间又 具有们定要研关系相互关连著学例如三角形者三边边长之三内角角度 及其正弦、馀弦定律;一定球面上各点者三定坐标之「们基满足者方 程式等等学本章将进而研就种们著、们关系者研理析系具它分分析 上者基础理是学其要点具于隐要研定理、坐标变换之定义具种析 上者极值问題学 19
ü ý þ ÿ ÿ ✁ ✂ ✄ ☎ ✆ ✝✟✞✡✠✡☛✌☞✎✍✑✏✓✒✡✔✖✕✘✗✚✙✜✛✟✢✤✣✦✥✓✧✦★✤✩✌✪✬✫✟✭✯✮✰✠✖✱✲✝✴✳✵✱✚✶ ✷✹✸✻✺ ✞✖✧✼★✡✽✤✫✌✥✼✢✤✣✿✾❀✍❂❁✵✥✚❃✚✫✟✭✿❄❅✾✚❆✲❇✵❈❊❉✬❋●✗❍❁■✝ ✺ ✞ ❏▲❑ ✥✚▼✖◆✹❖✓✩✹P❘◗❙✮❯❚❘❱❊❲❘✠✡✱❘✧✟★✦✽✤✫❳✢✓✣✹❨❍✫✹✭✹❩✓❬✼✭✓❭✟❪✡❫ ❴ ✥✖❉✲❵✖❛✡❜✦❝❞✮❢❡✵❣✡❃✓✫✼✭✼✥❍❤✼✐✦❨✖❥❘❨✤❬❘❱✹❲ ❦♠❧♦♥ ❄❅✾q♣srt✉✇✈②①④③✾ ③⑥⑤⑧⑦ ❄⑤⑧⑦ ✥✓⑨❊⑩✖❶✼❨✤❛✌❨✵❷✦✣✡✭✟❸✓❹✌✥❍❺✟✶❼❻ ✸✤❽ ✍❯❲✵❾✦✭❿❆✜➀❙❻➂➁✤✐➃❻➅➄❿❨ ✥➆✮➇❁✵❲❊✙✜✛✤✫✼✭✼✥❍➈✟⑩✦✪✬➉❘➊➋✮ ➌ ❲✬✝✼➍✖➎✖➍✵➏✼✣✵➐✦✭✤❭➑☞➒❫✡➓✦➔✡✥✹→❀➣↔✍✑↕❊➙✲➛✟❲❊✙✬✛✼➜✤➝❳✙✓➞ ➟✤✥✿✍➇➠✖➡✤❫✌➢✚➤✹✥✵✣❘➐✡❵➦➥✜➧✡➨▲✙❍✱✡➩❳➫✜➭❙✍➇➜✵❚✼➯❘➩▲➫✜➭❘❪❳➲❘➳ ➵ ➨➸✙✲✱✹✢✓✣✌➞✹➟➒➺✟➻✌➞✤✧✡➼❼✮✑➽✦➾✌➚✟➪✲➶✌✥✖➚❘➹✡➹❊➘❍❛✌➚❿➴✓➪✡➪✲➷ ➤✦➬✡➮✹➱❞❻❐✃✌➱✡❒✓❹❰❮➅✠✦✱✵Ï✴Ð✤✞✖➍ ❑ ✥✖➚✖✱✹Ñ❍Ò✡❛❿❁✜✒✹❫✹Ó✵Ô✹✥✖Õ Ö✌×❘Ø✡Ø ✮ÚÙ✹☛✚Û✼Ü❊➜■Ý❊✔✹❚✵➎➸✙✲✛✿❻Þ✙✵➞✟➟✤✥❘✣❘➐✖❵➦➥❀✝✦✫✹✭✡✭✓❭ ✞✹✥✓➉✖➊✼➐✖✕➋✮❯➬✦❝ ❑ ✝✴ß✼à✼✢✓✣✼❒✵➐❙❻áÑ✲Ò➑➫ãâ✼❛❊❒✼ä✲✝✌❚✵➎✖❵➦➥ ✞✟✥✲å✖æ▲→ã➣➋✮ çéè