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1.2.多元函数的微分 所以,在算式上来看,一个(一阶)连续可微的函数∫(u1,,um)的 全微分,不论其变元是自变元或是因变元,恒有 注]:把上式中以du mdx;代入,即得 af au 由此可见复合函数f(g1(x1,…,xn),…,gmn(x1,…,xn)对于x;1的偏导函 数m也就是上述表式中dr;的系数,亦即 of f a aci 这也就是对于复合函数求其偏导函数时的 Chain rule。总之,上述 (连续)可微函数一以贯之的全微分公式业已自然而然地把 Chain rule 包含于其中。再者,在多元数理分析中,全微分才是真正有用的主角 偏导函数的计算乃是求全微分的表式中的系数函数者也。而且在实 际的计算中,只要逐次去求所涉及的变元的全微分(而它们都可以用 (*)-式一以贯之)·然後只要再用展开丶集项等简单的代数运算(亦即 分配律)即可得其所求。 【例子】:令f=f(x,y),x=rcos0,y=rsin0,其中{r,}是相互无关 的自变元。则有 ar ar or dy ar a( e, af ( sin 0) f af a r af ay a af af ar af ay af r co ar ae ay de a. 由上述等式即可解出 af af (cos 0) af aj 0f1 sin b)+ y 基础分析学之二
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第一章.多 的连续性与微分 方向导数( directional derivative) 假如我们把∫(r1,…,xn)的自变元限制到其变域D中的一条可微参 数曲线γ,亦即 {x;=p;(t),1≤i<m} 则有dr;=g(t)dt =∑m(t 亦即复合函数∫(φ1(t),,n(t)对于单元参变数t的导数乃是 df 再者,设{an1=y(0),1≤i≤m}是?的起始点坐标,则 y(0 t=0 叫做f(x1,,xn)在A点对于γ的初速方向的方向导数,仅仅和的 初速方向v=(41(0,…,n(0)有关。我们将以DfA表示之,亦即 其中v;乃是在A点的速度向量ⅴ的分量。 注]:∫在A点的可微性也是必须的。例如,令 (x,y)≠(0,0) 0 (0,0) 则易证Of 但是当91(t) (y1(0),y(0)=(1,1)而且 0 lin t=0 基础分析学之
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1.2.多元函数的微分 显然在这个情况 Gf(91(t),p2() y1(0) 09) y2(0) 习题】 (1)试证若∫在A点可微,则∫必需在A点连续 (2)试验证上一节习题(5)中的连续函数∫(x,y)在(0,0)点不可微 (3)求下述函数的全微分 (i)f(a, 3,2)=2 2+y2+22+2.ry+2.cz +2yz (ii)f(a, 1, a)=log(r ),x2+y2+2>0 (iii)f(a, y)=sin T cos y (iv)f(c, y)=e(a'+y) sin(x2+y2) (4)令f=f(ax+by),试证b-a=0° (5)设()为一阶连续可微函数。令f(x,y)=x"p(),试验证 0f.0f ay 多元的泰勒公式与局部高阶逼近 在单元微积分中·泰勒公式说明了一个局部高阶连续可微的单元 数具有多项式函数的局部高阶逼近。同样的·一个高阶连续可微的多 元函数也具有其多元多项式函数的局部高阶逼近。这也就是我们接著 所要研讨者—泰勒公式的多元推广。它也就是多元微分学中的高阶均 值定理。 【定义】:设某一给定多元函数f(x1,…,xn)’不但其偏导函数{a} 都是在其(开的)定义域D上到处连续,而且它们的偏导函数m m(m),1≤,j≤n,也都是在D上到处连续,则称f为D上二阶连 基础分析学之
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第一章.多元函数的连续性与微分 续可微的函数。再者,若所有二阶偏导函数{mm-}也都是在D上到 处连续可微·则称∫为D上三阶连续可微的函数。以此逐步推进’若 ∫的所有k-阶偏导函数在D上都是到处连续’则称∫为D上k-阶连 续可微的函数 首先当i≠j时,二阶偏导函数 和 是有可能在某些点 两者都有其确定值但是彼此相异者也(见下面例子)。但是在和 a都是到处连续的情形,则它们在每点之值恒相等,亦即两者乃是 D上的同一个函数,即下述引理 【引理2】:若和在D上都是到处连续,则它们乃是D 上的同一个函数 证明:因为在求偏导函数m和m时,除了x1和x之外的其 他变元都是暂且固定不变的,所以上述引理的证明显然可以归于n=2 的情形验证之’而{,}则为{1,2}。兹证之如下 对于D中任给一点(x1,x2)和足够小的(h,k)·由均值定理,即得 f(x1+h,x2+k)-f(x1+h,x2)-f(x1,x2+k)+f(x1,x2) ho(ai t Oh) o(r)=f(r, T2 +k)-f(r, x2)1 f 12(1+0h,x2+k) (x1+h,x2) a(m1+mh,2+k),0≤0,0≤ 同理也可以说明存在适当的0≤θ1,∥1≤1使得 f(x1+h,x2+k)-f(x1+h,x2)-f(x1,x2+k)+f(x1,x2) aci ax2 h,x2+6h) 亦即存在适当的0≤0,0,01,B1≤1使得 (1+mh,2+8)=-(1+0b.x2+0) 由此可见,当m和m连续的情形 .car arian 基础分析学之
❜✸❝ ❞❑❡✾❢✘❣✲❤✁✐✑❥✩❦✞❧❭♠✞♥✩♦✖♣☛q❙r ♥ts✩q✖❧✑❥✩❦✈✉①✇✭②④③⑥⑤✠⑦t⑧✠⑨✖⑩✁❶✖❷✑❥✩❦❹❸t❺❂❻❩❼ ❺❾❽❯❿➀❺❾❽❄➁❄➂➄➃✘➅✼➆❘➇④➈➊➉✑➋ ➌ ♠t♥✠s◆q④③➎➍◆➏✈➐➒➑ ➈●➉✞➓ ⑩❘♠t♥✠s❘q✖❧t❥◆❦➔✉➄→❘➣✘↔✑↕◆➙✞➛➜③➝⑤ ➐☛❧✩⑦t⑧➟➞➡➠➢⑩☛❶✖❷t❥✩❦ ➇✾➈➤➉❭➅✖➆✒➋ ➌ ♠✞♥➟③①➍◆➏➜➐■➑ ➈●➉ ➞➡➠➢⑩◆♠ ♥✠s◆q✖❧t❥✩❦➔✉ ➥✠➦ ③➨➧➫➩✧➭➯■➲➵➳ ③➸⑨✆⑩➒❶✆❷t❥❘❦ ❺❻ ❼ ❺❾❽❯❿➀❺❾❽❄➁➻➺ ❺❻ ❼ ❺❾❽❄➁➼❺❾❽❯❿ ➆ ⑧✞s✠➽ ➇✖➾✭➚✑➪ ➶ ② ➅ ⑧✒➹❘➘✲➴❘➷✘➬ ➆☛➮ ➣❭➱t✃❭② ➃❒❐❰❮◆Ï✞Ð➒Ñ✑Ò➊Ó ✉✧➬ ➆■➇ ❺❻ ❼ ❺❾❽❯❿➀❺❾❽❄➁ ➺ ❺❻ ❼ ❺❾❽❄➁➼❺❾❽❯❿①➅✖➆✭➋ ➌ ♠t♥t❧✩Ô✘Õ✾③①➍tÖ➒× ➇tØ✄➪■Ù ➷✞Ú❭➱✑Û✈③❲Ü✭Ý ➶ ②✠Þ ➆ ➈●➉ ❧✆ß☛❡✒à❙❥✩❦➟③❲Ý Ï✒á✆â☛ã ä â✁ã④åçæéè ⑤ ❺❂❻❩❼ ❺❾❽❯❿➀❺❾❽❄➁➝➺ ❺❂❻ê❼ ❺❾❽❄➁➼❺❾❽❯❿ ➇ë➈➊➉✘➅✄➆✠➋ ➌ ♠✞♥➜③❲➍✑Ö☛×✲Þ ➆ì➈ ➉ ❧✖ß☛❡✒à❙❥◆❦✈✉ í✄î è①ï ➑ ➇✼ð❶✲❷✠❥✁❦ ❺❻ ❼ ❺❾❽❯❿❯❺❾❽❄➁ ➺ ❺❻ ❼ ❺❾❽❄➁➼❺❾❽❯❿ ➳ ③Pñ✆ò✄óõô ➺ ó÷ö Ù✒ø ❧✩➹ ùûú ✐ ➅✖➆✒ü✩ý✄þ ➴✒ÿ ú ❧ì③➸⑦✼→ ➉✠á✲â☛ã ❧ í✼î✁✄✂ s❙→✆☎✞✝✠✟ ➯ å ❧✩Ô✭Õ☛✡í Ù ③✌☞❑❸ ➩✎✍ ➲ ➂ ➍✭➑✈❸ ❜✏✍ å ➂ ✉✒✑ í Ù✁✓✑Ï④è ✔ ✝ ➈✠✕✗✖✙✘ ❡ ➪✛✚ó✢✜✣✍ ó✥✤✧✦ ➺✩★✫✪✭✬ ❧ ✚✯✮ ✍❄➞✰✦➝③✲✱✞✳✭➷✲➴ ã ③①Ý✞✴ ➐ ✚ó✢✜✶✵ ✮ ✍ ó✥✤✷✵☛➞✰✦✹✸■➐ ✚ó✢✜✺✵ ✮ ✍ ó✥✤✧✦✹✸■➐ ✚ó✢✜✣✍ ó✥✤✷✵☛➞✰✦✺✵☛➐ ✚ó✢✜✧✍ ó✥✤✣✦ ➯ ✮✥✻✽✼✾✚ó✢✜✺✵✞✿ ✮ ✦ ❀✻✹✚ó❁✦ ➯ ➐ ✚ ó✶✍ ó✥✤✷✵☛➞✰✦✹✸■➐ ✚ó✶✍ ó✥✤✣✦❃❂ ➯ ✮ ❀❅❄➐ ❄ ó✢✜ ✚ó✢✜✶✵❆✿ ✮ ✍ ó✥✤✷✵☛➞✰✦✹✸❇❄➐ ❄ ó✢✜ ✚ó✢✜✶✵❆✿ ✮ ✍ ó✥✤✧✦❃❂ ➯ ✮ ➞❈❄ ✤ ➐ ❄ ó✥✤ ❄ ó✢✜ ✚ó✢✜✶✵❆✿ ✮ ✍ ó✥✤✷✵❆✿✼ ➞✰✦✣✍❊❉✌❋●✿❍✍■✿✼ ❋✒❜ ß ãt➃ s❙→❑❏ î▼▲ ➇✙◆ ➧ ❧❖❉✌❋●✿P✜✧✍■✿✼✜ ❋✭❜❘◗☛✴ ➐ ✚ó✢✜✶✵ ✮ ✍ ó✥✤✷✵☛➞✰✦✹✸■➐ ✚ó✢✜✺✵ ✮ ✍ ó✥✤✧✦✹✸■➐ ✚ó✢✜✣✍ ó✥✤✷✵☛➞✰✦✺✵☛➐ ✚ó✢✜✧✍ ó✥✤✣✦ ➯ ✮ ➞ ❄ ✤ ➐ ❄ ó✢✜ ❄ ó✥✤ ✚ó✢✜✶✵❆✿P✜ ✮ ✍ ó✥✤✷✵❆✿✼✜ ✮ ✦ Ü✭Ý ▲ ➇✙◆ ➧ ❧❖❉✌❋●✿❍✍■✿✼ ✍■✿P✜✧✍■✿✼✜ ❋✭❜❘◗☛✴ ❄ ✤ ➐ ❄ ó✥✤ ❄ ó✢✜ ✚ó✢✜✶✵❆✿ ✮ ✍ ó✥✤✷✵❆✿✼ ➞✰✦ ➯ ❄ ✤ ➐ ❄ ó✢✜ ❄ ó✥✤ ✚ó✢✜✶✵❆✿P✜ ✮ ✍ ó✥✤✹✵❆✿✼✜ ➞✰✦ ✱✁➣✞s ❮ ③✌➧ ❺❂❻❩❼ ❺❾❽ ❻ ❺❾❽❚❙ ➺ ❺❂❻❩❼ ❺❾❽❚❙ ❺❾❽ ❻ ♠t♥✞❧✩Ô✭Õ ❄ ✤ ➐ ❄ ó✥✤ ❄ ó✢✜ ➯ ❄ ✤ ➐ ❄ ó✢✜ ❄ ó✥✤ ❯☛❱ r❳❲❩❨ Ù ⑨