第二章.多元多关系的微分 2.1隐函数定理 设有n个变元x=(x1,x2,…,xn)在x0点之邻域之内满足一组函数 关系 f(x)=0,1≤i≤m<m},(f1一阶连续可微) 试问在什麼条件之下存在著上述方程组的局部「解函数组」?它将其 中m个变元(不妨设为r1,…,xm)表达成其馀(n-m)个变元(不妨 设为m+1,……,xn)的连续函数,亦即存在连续函数 pi (a 使得 m,m+1 ), 在(xm+10,…,,xn0)的适当邻域内恒等于0 在f(x)=0,1≤i≤m,都是线性方程这种最为简单的情形,亦即 a都等于常数的情形,则显然有熟知的代数条件式,即当(常数行 式) 时,存在唯一的线性解函数x;=(xm+1,,,xn),1≤i≤m。往後我们 将用 Jacobi所创的符号以 (f1 表 (x1 (22) 表示 这类由一阶偏导函数组成的行列式通称之为 Jacobians在一般的情形 (2.3) 0 O( 基令分rc之
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21.隐函数定理 则原方程组{f;=0}在x0点的局部线性逼近方程组 (大o) afi(xo)dr 具有下述唯一线性解函数 1<t<m 其中 a(i, .. fm d(c 而0 表示将r;改为x;者 【隐函数定理】:设{f1(x),1≤i≤m}在x0的邻域皆为一阶连续可微 O(f1,,,fm) 而且机…,xm/≠0,则方程组 (大) f(x)=0.1≤i≤m 存在一组唯一的连续(局部)解函数 使得 Pm, Cm+ 在(xrm1+1,0,…,xn0)的适当邻域内恒等于0。再者,{p,1≤i≤m}都 是一阶连续可微者,而且 O(f1,…,fm) O ≤t≤ j=m+1 1 基础分析学之二
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第二章.多元多关系的微分 证明∶我们将先证m=1的情形’然後归纳地论证其一般的情形 1:亦即由m(x0)≠0论证x1=1(x2,…,xn)之存在性。由所设 f1(x)的一阶连续可微性和m(x0)≠0,只要|x-xl足够小,恒有 (x) 1|Of1 (令其为a) (25) M 0f1 (x),2≤j≤n}< 设文=(x2,,πn)是0=(x20,,rn、0)的足够小邻域中的取定一点 亦即|x;-r<6,6足够小。由一阶均值定理,即有 (2.6) △f1 (51)(x1-x1,) 「1 ax (5;)(x;-x;0) 若将(x1-m10)分别取用士0而将6取成小于mBk,则由(2.6)-式 显然有 f1(x1,+E0,x)和f1(x10-0,x)异号 所以由中间值定理和单调性即有唯一的x1=m1(x)使得 再者,由△f1=0易见v1(X)一阶可微而且 ((1,x)d+∑an(1(x 0f1 af (v(x),x) 一般情形的归纳论证 亦即归纳假设定理在m-1时业已成立,推论其在m时也成立 不妨设出(x0)≠0。由上述之所证,存在1(X)使得v1(x0)=x10 f1(v1(X,x)=0。令 g;(x)=f((x),x),2≤i≤m 基础分析学之
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21.隐函数定理 即有 agi af G·浙( 由此可见 (v1(xo),xo) dr d( s (v1(xo),xo) ≠0 由归纳假设,存在唯一的一组连续函数 i <2< 使得91(2,…,9m,xm+1,…,xn)≡0,而且φ都是一阶连续可微者。 0( d (x2 令纠1=(y2,,m,xm+1,…,xn),不难验证{,1≤≤m}即为所 求证者 注意∶上述证明仅仅论证其解函数的唯一存在性。一般来说,除非在 极为简单的方程组(例如线性方程组),这种唯一存在的解函数是无 法求得其明确表达式( explicit expressions)的。所以它乃是由方程组所 唯一确定的隐函数( implicit functions)。但是这组隐函数的线性逼近式 却又是有(灯)这种简明的表达式者。这里,再一次说明微分法(亦即 线性逼近)的妙处与用场。 总之,隐函数定理乃是一个概念性的基本定理。让我们再用几何观 点来对于隐函数定理的内含作一剖析 (i)设∫f(x)是开子集D上的连续可微函数’则条件式f(x)=0所描述者 乃是D中的一个(n-1)-维子集,通常称之谓超曲面( hypersurface) 基础分析学之二
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第二章.多元多关系的微分 设x是其上一点(即有f(x0)=0)而且第 n中至 有一导(或高 场性与微与单积当 值 )f 均)均=(均均0) 连 乃是理中过ⅹ0点成十用 )实直的那偏超变得 或它加是1(x)=0和了述的超缝的强要 腓非申:通常总是设上述及十用个开f1子x0的D度十用(而它g都首宙而 給;a而bx)或并1.号Vf表示论 (数x理的1件,或亦即荐有积 得 时hm)性与0)排其与 时 均谁韵m) 其nA点6乃是它是的D度喔1m是线则无关 的仙mm衔宙雨论和1它是子x鹏独些变鲟的a乃是一偏 (nm檀-维的变得或亦即那偏过x0点而且成-f im都实直 的(nm)维变得题常设S二截个开超鉴得一号与{m子 x0点横截(都n保都lin都/)中论 性与与U (i)∫(数x理的nA点δ加是证2情:罹m偏超鉴得般法横截者ⅹo 或高其=子x0点的邻完乃是一偏(nm)-维鉴得或而且相1同只 叙述的(nm)偏号稍繁复数或设其2的m偏号稍表繁前者的(数 亦即和证∫(数)论 l往所总栽设横截的=点x0繁另多元多关柔和了述的fa的 高点(棺逄a都n而或∫值数x理续证情规高点的只要有上述简单 的复数表论其和只的(nm)偏号稍後加相1作繁和给∫a子规高点 邻完的数俚分小的自变元论 (令 为 设-f(x) 是n偏一)连a相微的n元(数论形 进性与与U助fJ ≠ 时均过其 础分小学 运
ßáà âäãæå✄ç●è✽éÝè✄ê✆ë✖ì➢í✛î ïñðóò❞ô▼õ✄ö✁÷✛ø✿ùûú✌üþýÿ✂✁➵ðóò☎✄✝✆✟✞✡✠☞☛✍✌✏✎✒✑☎✓✕✔ ✑✗✖✙✘✛✚✚ ü✾÷✸✷✺✹✼✻✾✽ ✚ ✜✣✢✥✤✣✦★✧✪✩✫✧✭✬✯✮✱✰✳✲✍✴✶✵ ✞★✆✟✿ýÿ ✚ ✚ ✜✣✢ ✆ ❁❀❂❄❃✛❅❇❆ýÿ ❆❉❈❂ ✚ ✚ ✚ ✚ ✜✣✢ ✿❈ ❂ ✤ ✿❈ ❂ ✆✸✁❈ ❂✯❊ ❈ ❂✂❋ ò●✄ ❍ ô❏■ ❀ ✲✱❑ ðóò ø▼▲❖◆✭P◗✁❘✑☎✓✕✔ ✑✗✖✣❙ ✚ ✚ ✜✣✢ ✤ ✑☎✓✕✔ ✑✗✖☎❚ ✚ ✚ ✜✣✢ ✤✣❯✣❯✣❯✥✤ ✑☎✓✕✔ ✑✗✖●❱ ✚ ✚ ✜✣✢ ✄❳❲❩❨ ì✟❬❩❭✭❪❴❫❩❵ ✻❜❛✱❝●ôþýÿ✂✁➵ð❞✄❡✆✟✞❣❢✺❤❥✐ ì❦❪♠❧✺❵✴ì♦♥♣❫❩❵ ôrqts ✉✇✈✭①③②⑤④⑦⑥♦⑧✸⑨❶⑩❯ö❷✐❹❸❷◆❺P❖❻✟❼ ýÿ❾❽ ðóò ì♦❿❶➀ ◆❺P ✁✇➁➃➂❉➄❣➅➇➆➃➈❘➉❉➊➋➄➍➌➎➁ ➏➄➍➐☎➁➃➑➇➆❾➑❘➒ ýÿ➓➈➔➁✸ðóò☎✄→✻↔➣❶↕▼➙❥➛➝➜ýÿ ✚ ✚ ✜✣✢★➞❩➟ ✰ s ✁➠➊➋➊✇✄❳➡✶➢r➤✸➥✟➦ ì❥➧❦➨❶➩ ✻➭➫✒ú✭➯✟❽✛ü ✦⑤✧✭➲ ❅➵➳ ➲✕➸ ➳ ❯✣❯✣❯ ➳ ❆ ✁➮ý ➲➻➺✭✧✍✬➽➼♦➾ ❅ ✤✣❯✣❯✣❯➚✤ ý➺ ✄ ❆ ✁❈ ÿ ❙ ✤✣❯✣❯✣❯➚✤ ❈ ÿ➶➪✝✄ ✚ ✚ ✚ ✚ ✜✣✢★➹✆r✞ õ♠➘✸➴➬➷❹➮ ❍ ô⑦❛❺⑨ ì✶❿❖➀ ◆❩P ➱❘➜ýÿ ✚ ✚ ✜✣✢ ✤✣✦✭✧✃➲❐✧✃❒❰❮ ô✳Ï❥ÐÒÑ ê ì ✁➠Ó➋➊➋➌❉➄✣➈❘➆❄ÓÕÔÖ➊➋➌❉➉❉➄➍×✛➄➍➌❉➉❉➄➍➌➎➁●✄✡s❜❢⑦↕✸❛✍⑨❩❽ ðóò ø ì♣♥❥❫❷❵✾ì✶Ø❶Ù ❍ ô✁÷ ❭ ✁ ✬ ❊ ❒ ✄✕Ú➚Û ì✺❫✸❵ ✻✾➫✴ú ❬♣❭ ❑ ðóò ør☛✍✌✟▲t➱❘➜ýÿ ✚ ✚ ✜✣✢ ✤✣✦⑤✧✭➲✝✧✭❒❰❮↔Ü ❲✸❨ ì ✁ ✬ ❊ ❒ ✄✕Ú➚Û ❫✸❵ ✉➶④❩⑥Ý⑩❥Þ✭ß Ø✭à ❻✪❼❪❹❧✟❵ ➱Úýÿ✂✁➵ð❞✄❡✆✟✞ ✤✣✦⑤✧✍➲❡✧✍❒❰❮ ❽ ðóò ø✪á à ✁✇➁➃➆➃➈❘➌❉â➏➄➍➆❄â➃➈❘Óã➊➋➌➎➁➃➄➍➆❄â❄➄➍➐☎➁➃➊➋➑➇➌ä✄å①æs ✁➠➊➋➊➋➊✇✄→➡✶➢✭➤✶➥r➦ ì ➘❦➴❹➷❺➮✭❝✛ô✍ç✳è❷é❏②ëê ❒ ❭✍❪♠❧✺❵✭ì✺í á à✸î ðóò ✻✫✽✁õ Ø❶Ù ❽ ðóò ø ì♦ï❩ð ❍ ô✾÷ ❭ ✁ ✬ ❊ ❒ ✄✕Ú➚Û ❧✸❵ ✻ñ☛♦✌❷ò✳↕✟ó❷ô õ÷ö ì ✁ ✬ ❊ ❒ ✄ ❭❥ø✱ù❥ú♣û ➤✼✻❾⑩●õ♦ü ì ❒ ❭❥ø✱ù ➞✸ý ú♣þ✺ÿ●ì ➢✟➤ ùë➫✒ú✭❢✺ç ✰ ➡✶➢r➤ ✠⑦s ✁➠➊➏ ✄ ✁✄✂ ⑧✟⑨✆☎❩Þ✺ß❺á à✛ì♣Ø ø➘ðóò ú Þ♦ß è➢éÝè✄ê❏ë ❢♦❤❥✐ ì✞✝❥Ù✴ì ✟❥✽✛ø ✁➠➆❄➄➍➅✡✠❉Ó ➈❘➆❾×✛➑➇➊➋➌➎➁●✄❳✻↔➡❩➢✟➤✶➥✺➦☞☛❺ç é✌✟❷✽●ø ì✎✍✑✏✓✒ ü✁ö✶✐✕✔✗✖ ì✟û ➤ ➞❺ý s❿õ✺❢❩ô ì ✁ ✬ ❊ ❒ ✄ ❭✶ø❦ù q♦❝✶ò❥↕✙✘ ú ❢☞✚ ✝✶Ù ❽✄✟❥✽✆ø ï❺ð●ì ➤✺➦ î✗✛Ýì✢✜✤✣✽é s ✥✧✦★✥ ✩✫✪ ✬✮✭ ï ➱Úýÿ✙✁➵ð❞✄ ✤✣✦⑤✧✍➲❡✧✍✬❞❮ ô ✬ ❭ ÷✓✯✱✰✳✲♣ò í✙ì ✬ é ➢r➤ s★ê ❆ ✁➮ý❅ ✤✣❯✣❯✣❯➚✤ ý ❀ ✄ ❆ ✁❈ ❅ ✤✣❯✣❯✣❯➚✤ ❈ ❀ ✄ ✚ ✚ ✚ ✚ ✜Ö➹✆✟✞ ✴✞✵ î✶✛✕✷ ✰ ã