1.1.多元函数的连续性 (6)令∫(x,y)为定义于R2的二元函数 f(, y) (x,y)≠(0,0) f(x,y)在(0,0)点是否连续? (8)设∫(x n)和9( )是两个同一变域D上到处连续 函数,试证 In) gla ):=f(x1 也是D上到处连续的函数 (9)试证任给m元多项式函数都是R上到处连续的函数。 (10)设∫(x1,…,xn)是一个连通的区域D上到处连续的函数。A,B是 D中任给两点,c是介于∫(A4)和∫(B)之间的值。试证D中总是 存在一点P使得∫(P)=C°[单元函数中间值定理之推广 (11)设D是R中一个有界丶连通闭子集而∫(x1,…,xn)是D上到处 连续的函数。试证其函数值所构成者乃是R中的一个闭线段(亦 即R中的有界丶连通闭子集是也)。[提示:参考上册第一章中 [定理1.2]和代数基本定理的证明之中|∫(z)|2在口(2K)上的极小值 之存在性之论证 都是D上的连续函数,而y=9(u )则是Rm上的连续 试证复合函数 y=9(f1(x),f2(x),…,fm(x),x=(x1,,xn) 也是D上的连续函数 (13)(思考题)试问应该如何定义由Rn中的一个区域D到Rm中的 个区域D′的映射的连续性?在适当的定义之下’连续映射的组 合应该还是连续映射,试说明之 基础分析学之
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第从章述多定义基本面b性asf et2多来函看形和如 出根只底是从每变定义基y皆其)所x皆式中涉s收本不再仅。所该 实本s小两确要是其过)後复从每杂性样近e,城近桾艮加)矬) 剂去其)逼灿所近够小本两确要。从每高于从阶本s量穷是点仅 其趔)其賦逼是想y皆其趔)其灺逼扒到仅°y皆其)所斌逑) 实本就杂更加式了用此涉公往都是从每多定义基y皆其沁棘也所 A越柄陨实涉s本定然到仅。点所A实本从每近够小本两确问 U颼)腰後复从每杂性样近是向去 【定然地大总之所从每杂性义基 也成成成 (刺也皆其质)策逼式 围务 成成 小忐甚楫也逼剌朋质也析|x逼判当两 所两格外时本行法处ⅴ外是闭段其刺桁也所A越陨楫也实 涉s本趨戕re主了 们又大总其所A实涉。是闭其共扮演所该实夏b色证我究竟才题了 」我适推要述涉s性本广?式换法都x皆式问≤i<η问本特学情形 之下是点仅简化成变定义基其輛所π輜飒嫉本涉s本广? 式了再者是用此易见要述杂性样近中本系基赖扮演等于其处神述療也 所x横端实本变率了同理扮演等于其材越初质也所可检 实本变率冋胴也扮演等于其质梾也勅也所x也皆地实本变率了 偏s版本箴然a符号大设π本变定义基其楲赝橄_粞橄-勅赜榔虬 所x皆式实涉s是级色所该实本变率定然v义基其棒质桁也所 A均机质越实对于x本偏导基得:因4很)是将公符号2 记号之是向去 成 成 球皆跟想柳初 →a 基础f析学之二
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1.2.多元函数的微分 总结上述简短的讨论’即有下述可微性的一个必要条件,即 【引理1】:若∫(x1,…,xn见在A(a1,…,an见握可微’就须在A(a1,,an见 握对nx國几i几n妫偏明数确存在(实即内含义的极限存在子’S 且须在A握接推的线性逼推之义 (x1,.,xn见足f(a1 [樣 (x区a 注s(一般;例’上述n个偏明数的存在可微性的必要条件 (-非饿条件’下勿 元数的 (i见明数7有含义元的函数,即的连个n元函数 (内含文续可性新制(…见的也续要厂(子元∫对”的 偏明函数 i一个)含函 ,…,xn见去是须的B个偏明函数切的一个 给定偏微分(的自形为自吧频本而上肉之又应元微分 ,如义在一个 了相区元开的(n-1见个也元n要值定则含由也 的唯数i确念先,偏微分者个略也。先它已在某的应元函数的微 分,实即点个如让x区也动S内他(n-1见个也元就n暂且则含由动 的S的的点元函数的做分连性如要作又某,第 「元数引 本汇将 (x,挚是(砑砚 研砚 就n偏明函数的含义即可是的 足 ∫(础砚-∫(研砚, 港 足义f(,标聊握由哥微,而须多本在(研峨握由。如的局 若如要是偏明函数的存在义由在,的讠有结语讨中題的牺若要 性蔥结语讨中题,之必 数讲明函数的。如性的 之丑分析》
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第一章.多 的连续性与微分 在单元微积分中,当导函数(或高阶导函数)也具有连续性时,均 值(或高阶均值)定理就成为十分好用的有力工具。其实’在多元微 积分中,偏导函数的连续性就变得更加重要和必要了。有鉴于此,在 往後的讨论中·除非另加申明·我们总是设所涉及的函数的定义域是 个开子集D,而且它所涉及的偏导函数(或高阶偏导函数)也都是 D上的连续函数。首先’偏导函数的连续性足以保证原给函数的可微 【定理11]:设∫(x1…,xn)的偏导函数,1≤n,都在A点的 个δ-邻域U6(4)上是连续的·则∫(x1,,xn)在A点是可微的,其 线性逼近为 证明:先证η=2的情形’而一般情形的证法其实是和η=2者完 全相同(只是叙述和符号上稍加繁复)σ用单元的均值定理,即得 (f(n,2)-f(a,2y)+(r(a,1y)-fa,ay) af (51,x2)(x1-a1)+a(a1,52)(x2-a2) 再由所设之洲和沥的连续性,即有 f(x1,m2)-f(a1,a2) +E1 1 a:2\A 而且当(x1,x2)→(a1,a2)时,ε1,E2→0。由此易见 至此不难看出’上述证法是可以直截了当地推广到n是一般的情形的 基础分析学之
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1.2.多元函数的微分 先将f(x1,…,,xn)-f(a1 an)改写成n个差之和,即 )-f(a1,x +(f(a1,…,an-1,xn)-f(a1,…,an-1,n 然後再对于每个差运用单元的均值定理和各个偏导函数的连续性即可 证得 全微分和 Leibnitz符号 关于多元函数的微分’当年 Leibnitz所采用的符号既简洁又好用 这也就是现在大家所通用者 当r;,1<i<n,是自变元时,我们用dx;表示它的一个任给的微 增量」·亦即设想自变元x;由a;改变为a1+dr;。在上述变动之下 f(x1,…,xn)所相应的「增量」乃是 f= f(ai+d an +dmn)-f( 在∫(π,,π)满足上述[定理1.1]的条件时’则Δ∫有其局部线性逼近 我们将以符号可表示它,即 称之为∫在A点的全微分( total differential of f at A) 在本质上,每个dr乃是一个取值微小的自变元,所以上述可lA乃 是{dr,1≤i<m}这n个微小的自变元的一个齐线性函数。再者,A 乃是∫(x1,…,xn)的变域D(设其为开子集而叫,1≤i≤n,都在D上 到处连续)任给一点。由此可见’上述全微分当A点在D中任意变动 时,实乃下述2n个变元的函数,即{x}和{dr} 基础分析学之
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