令定理1(取得极值的必要条件) 设函数=fx,y)在点(x,y)具有偏导数,且在点(x0,y)处有 极值,则有 f(x0,y0)=0,f(x0y)=0.> 类似地可推得,如果三元函数f(x,y,z)在点(x,y2=0)具 有偏导数,则它在点(x2y,2=)具有极值的必要条件为 f(c 0505-0 =0,f(x0,y o=0,f( 二0) 05y05-0 说明 从几何上看,这时如果曲面z=x,y)在点(nyo,=o)处有切 平面,则切平面 z-=0=(x0,y0)(x-x0)+f(x0,y)-y 成为平行于xO坐标面的平面=0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明: 下页 ❖定理1(取得极值的必要条件) 设函数z=f(x y)在点(x0 y0 )具有偏导数 且在点(x0 y0 )处有 极值 则有 f x (x0 y0 )=0 f y (x0 y0 )=0 类似地可推得 如果三元函数u=f (x y z)在点(x0 y0 z0 )具 有偏导数 则它在点(x0 y0 z0 )具有极值的必要条件为 f x (x0 y0 z0 )=0 f y (x0 y0 z0 )=0 f z (x0 y0 z0 )=0 从几何上看 这时如果曲面z=f(x y)在点(x0 y0 z0 )处有切 平面 则切平面 z−z0=f x (x0 y0 )(x−x0 )+ f y (x0 y0 )(y−y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z=z0 >>>
令定理1(取得极值的必要条件) 设函数=f(x,y)在点(xo,y)具有偏导数,且在点(xo,y)处有 极值,则有 f(xo,y0)=0,f(x0y0)=0 今驻点 凡是能使(x,y)=0,(x,y)=0同时成立的点(y)称为函 数z=(x,y)的驻点 讨论: 驻点与极值点的关系怎样? 提示 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点.>> 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 凡是能使f x (x y)=0 f y (x y)=0同时成立的点(x0 y0 )称为函 数z=f(x y)的驻点 ❖驻点 设函数z=f(x y)在点(x0 y0 )具有偏导数 且在点(x0 y0 )处有 极值 则有 f x (x0 y0 )=0 f y (x0 y0 )=0 下页 讨论: 驻点与极值点的关系怎样？ 提示: 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点 >>> ❖定理1(取得极值的必要条件)
令定理2(取得极值的充分条件) 设函数=(x,y)在点(x,y)的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数,又f(x2y0)=0,f(x2y0)=0,令 (oy0)=4,f(xo,y)=B,(xo,y0)=C, 则f(x,y)在(xo,y)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时 有极小值; (2)4C-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值 极A极 O有小大 A b f 值 值 AC-B2 Xv <0无 B C WI =0无法判定 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理2(取得极值的充分条件) 设函数z=f(x y)在点(x0 y0 )的某邻域内连续且有一阶及二 阶连续偏导数 又f x (x0 y0 )=0 f y (x0 y0 )=0 令 f xx(x0 y0 )=A f xy(x0 y0 )=B f yy(x0 y0 )=C 则f (x y)在(x0 y0 )处是否取得极值的条件如下: (1)AC−B2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时 有极小值 (2)AC−B2<0时没有极值 (3)AC−B2=0时可能有极值也可能没有极值