容易验证,∑a亚()是方程1d=A(x满足初 值条件 ∑a,y(t0)=∑a′=c 的解。根据唯一性定理,满足初值条件的解只有一 故必有 重(t)=∑a1亚(t)证完 ★
1 ( ) = ∑ n i i i 容易验证， 是方程 a t Ψ dx/dt=A(t)x满足初 值条件 0 1 1 ( ) = = ∑ ∑= = n n i i i i i i at a Ψ e e 的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一 个。故必有 1 () () = = ∑ n i i i Ψ Ψ t at 证完
二、基本矩阵与状态转移矩阵 1、基本矩阵 定义41:以方程x=A(x的n个线性无关解所构 成的矩阵 哑(t)v(t)…亚"(切)=亚(,t∈(-0,+0) 称为方程ⅹ=A()x的基本矩阵或基本解矩阵。 基本矩阵是不唯一的。 木*2
1 2 ( ) ( ) ( )] ( ), ( , ) " = ∈ −∞ +∞ n [ΨΨ Ψ Ψ t t t tt 定义4—1：以方程 的 n 个线性无关解所构 成的矩阵 x=A x ( )t 二、基本矩阵与状态转移矩阵 1、基本矩阵 称为方程 的基本矩阵或基本解矩阵。 基本矩阵是不唯一的。 x=A x ( )t
根据定义,基本矩阵具有如下性质: Y=A(t)y 业(t)=H 其中H为某个非奇异常量矩阵。 木*2
0 ( ) ( ) = t t H Ψ Ψ = A Ψ 其中:H为某个非奇异常量矩阵。 根据定义，基本矩阵具有如下性质：
命题 若亚(t)是微分方程文=A(x的一个解,且对某个 t,有v()=0,则 v(t)=0 证明:显然,x(t)≡0,是方程的一个解;又已知 亚(t)=0 由于满足上述初始条件的解只有一个,故必有 v(t)≡x(t)=0 证完。 木*2
Ψ() 0 t ≡ 证明：显然，x( ) 0, t ≡ 是方程的一个解；又已知 0 Ψ() 0 t = 由于满足上述初始条件的解只有一个，故必有 Ψ() () 0 t t ≡ x = 证完。 命题： 若 是微分方程 的一个解，且对某个 t0，有 , 则 Ψ( )t x=A x ( )t 0 Ψ() 0 t =
定理4-2:方程x=A()x的基本矩阵对于(-∞,+∞) 中的所有t均为非奇异矩阵。 证明:反证法。设对某一个t,使得基本矩阵 亚(4)为奇异阵。于是,存在非零实向量α,使得 (4) v(t)a=∑a亚()=0 由于∑()=0是微分方程的一个解,故 由以上命题知 ∑a亚()=0. ★ 这与基本矩阵的定义相矛盾。 诬完
证明：反证法。设对某一个t0，使得基本矩阵 Ψ( ) t0 为奇异阵。于是，存在非零实向量α ，使得 1 2 00 0 0 1 ( ) ( ) ( )] ( ) 0 = " = = ∑ n n i i i [Ψ Ψ Ψα Ψ t t t at 由于 是微分方程的一个解，故 由以上命题知 0 1 () 0 = ∑ = n i i i a t Ψ 1 ( ) 0, = ∑ ≡ ∀ n i i i at t Ψ 这与基本矩阵的定义相矛盾。 证完。 定理4－2： 方程 的基本矩阵对于 中的所有 t 均为非奇异矩阵。 x=A x ( )t (, ) −∞ +∞