推理:若亚1、亚均为/d=A(的基本矩 阵,则存在n×m非奇异实常量矩阵C,使得 y (t).C 证明:根据基本矩阵的性质即可证明。 木*2
推理： 若 均为dx/dt=A(t)x的基本矩 阵，则存在n×n非奇异实常量矩阵C，使得 Ψ Ψ 1 2 、 1 2 Ψ Ψ () () t t = ⋅C 证明：根据基本矩阵的性质即可证明
2、状态转移矩阵 定义42:令0)是文=A(x的任一基本矩阵,对所 有(∞,∞)中的,t,称 重(4)=()() 是文=A()x的状态转移矩阵。 状态转移矩阵具有下列重要性质 )(t, 2)(4)≥=)y()=①(布,2) 3)(t25)=①(2+)9(,) ★
定义4—2：令 是 的任一基本矩阵，对所 Ψ( )t 有(-∞，∞)中的t，t0，称 ( ) 1 0 0 , () ( ) − Φ ΨΨ tt t t = 是 的状态转移矩阵。 状态转移矩阵具有下列重要性质： ( ) () () ( ) ( )( ) 1 1 00 0 20 21 10 1. , 2. , ( ) () , 3. , , , − − = = = = Φ I Φ ΨΨ Φ Φ ΦΦ （） （ ） （ ） t t tt t t t t t t t t tt 2、状态转移矩阵 x=A x ( )t x=A x ( )t
(4由基本矩阵的性质 d@加=A(t)(,+) ①(t,t)=I 证明Φ(4)是矩阵微分方程的唯一解: d①(t,te (y(ty (to)) A(ty (ty"(to)=A(t)(t, to) Φ(tb,tb)=I ★
0 1 0 1 0 0 0 0 (, ) ( ( ) ( )) () () ( ) () (, ) (, ) ψ ψ ψ ψ − − = = = = Φ A A Φ Φ I d tt d t t dt dt t t t t tt t t 证明 是矩阵微分方程的唯一解： Φ(t t, 0 ) (4). 由基本矩阵的性质 0 0 0 0 (, ) () (, ) (, ) = = Φ A Φ Φ I d tt t tt d t t t
(5齐次方程x/d=A(tx在初始条件x()=x下的 解为: x()=@(4)x 证明:x(总可以表示为: x()=平(1)a,a≠0 特别, x()=y(0→>a=平(4)x(6) 将其代入上式,就是所要证明的 木*2
(5). 齐次方程dx/dt=A(t)x在初始条件 下的 解为： x x ( ) t0 = 0 x() , t tt = Φ( 0 ) x0 证明：x(t)总可以表示为: x() () 0 t t = Ψ α, α ≠ 特别， 0 0 00 ( ) ( ) ( )( ) -1 x t t tt = ⇒= Ψ α αΨ x 将其代入上式，就是所要证明的
(6)(t,)A(唯一确定,且与具体所选择的平 无关。 证明:设平(0)、平20)是x=A(x的两个不同 的基本矩阵。P为非奇异实常值矩阵,使得: 2()=1()P 0(6)=平2(O(2(6)2=平1(P(() 1O)y( 由此可以看出①(1,10)与所选择的基本矩阵元 关,只与系統本身特性有关,是唯一的。 木*2
(6). 由A(t)唯一确定，且与具体所选择的 无关。 证明：设 、是dx/dt=A(t)x的两个不同 的基本矩阵。P为非奇异实常值矩阵，使得： 由此可以看出 与所选择的基本矩阵无 关，只与系统本身特性有关，是唯一的。 Φ (t t , 0 ) ( ) 0 Φ t t , Ψ( )t ( )t Ψ2 ( )t Ψ1 Ψ Ψ 2 1 () () t tP = ( ) 1 11 00 0 1 0 , ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ( )) t t t t t PP t t t − − − − = = 22 1 1 1 1 Φ =ΨΨ Ψ Ψ Ψ Ψ