定理4-1:方程a/dt=A(tx的所有解 的集合,形成在实数域上的n雏向量空 定理4-1包含以下两层意义; a)解的集合组成线性空间; b)解空间的维数是n。分成两部分证明 )dx/dt=A(t)x有m个线性无关的解 2)其任一解均可表成它们的线性组合。 木*2
定理4－1：方程dx/dt=A(t)x 的所有解 的集合，形成在实数域上的n 维向量空 间。 定理4－1包含以下两层意义： a)解的集合组成线性空间； b)解空间的维数是n 。分成两部分证明： 1）dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解； 2）其任一解均可表成它们的线性组合
证明: a)方程所有解构成线性空间 任取/d=A(x的两个解亚、亚,则对任意的 实数a1和a,有 (a亚+a22)=a+a2业2=CA)业+2A(t厘业 dt a(t(ay+a,y,) 木*2
证明： a) 方程所有解构成线性空间： 任取dx/dt=A(t)x的两个解Ψ1、 Ψ2，则对任意的 实数α1和α2，有 11 2 2 11 2 2 1 1 2 2 11 2 2 ( ) () () ( )( ) + =+ = + = + A A A d t t dt t αα αα α α α α ΨΨ ΨΨ Ψ Ψ Ψ Ψ
b)证明解空间的维数是m 1)设e,e2…,e是n个线性无关的向量,更()是在初 始条件 e 时方程X=A(t)x的解。要证明,亚,,,y 是线性无关的∧个解。 木*2
0 ( ) e i i Ψ t = (i=1，2，…，n) 时方程 的解。要证明， xAx = ( )t 是线性无关的n个解。 1 2 , ,, " n ΨΨ Ψ ( ) i Ψ t 始条件 1)设 ee e 1 2 ,,, " n 是n个线性无关的向量， 是在初 b)证明解空间的维数是n：
反证法:亚,驴,…亚若线性相关,必存在 个n×1非零实向量a使得 特别,当仁t时就有 亚(t)业(t)…业()j =0 上式意味着向量组e,e,…,e”线性相关,这与初 始假设矛盾。矛盾表明 亚(t),亚2(t 在(-∞,+0)上线性无关。 木*2
1 2 [ ]0 " = ∀ n Ψ Ψ Ψα t 反证法： 若线性相关，必存在 一个n×1非零实向量α 使得 1 2 , ,, " n ΨΨ Ψ 特别，当t=t0时就有 1 2 00 0 1 2 [ ( ) ( ) ( )] [ ]0 ee e n n tt t = = " " Ψ Ψ Ψα α 1 2 ee e ,, , " n 上式意味着向量组 线性相关，这与初 始假设矛盾。矛盾表明 在 上线性无关。 (, ) −∞ +∞ 1 2 ( ), ( ), ( ) " n ΨΨ Ψ tt t
2)证明ax/dt=A(x的任一解均可表成它们的线性 组合,即解的集合组成了m维线性空间。 令业是方程/d=A(x满足初条件 业()=e 的任一解。e显然可唯一地被e,e2…,e"线性表 出 e=a1e+a,e-+…+a,e ∑ ae ★
的任一解。e 显然可唯一地被 线性表 出： 1 2 ee e ,,, " n 2) 证明dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性 组合 ，即解的集合组成了n维线性空间。 1 2 1 2 1 ee e e e = = + ++ = " ∑ n n i n i i aa a a 0 Ψ( ) t = e 令 是方程 Ψ dx/dt=A(t)x满足初条件