◆◆同步测控◆◆ 1.下列幂函数为偶函数的是() B 解析:选Cy=x2,定义域为R,八一x)=fx)=x 2.若a<0,则0.55“5“的大小关系是() A.5“<5“<0.5 B.5<0.54<5a C.0.54<5“<5 D.5<5a<0.5 解析:选B5=,因为a<0时y=单调递减,且<05<5,所以y<0y<5 3.设a∈{-1,1,,3},则使函数y=x的定义域为R,且为奇函数的所有a值为() A.1.3 B.-1.1 C.-1,3 1.1.3 解析:选A在函数y=x1,y=x,y=x2,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是 R,且是奇函数,故a=1,3 4.已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若(-y>(-2,则n 解析:∵一 0)上为减函数 又n∈{-2,-1,0,1,2,3} 1或n=2 答案:-1或2 ◆◆课时训绦 1.函数y=(x+4)2的递减区间是() A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) 解析:选Ay=(x+4)开口向上,关于x=-4对称,在(-∞,-4)递减 2.幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是() A.(0,+∞) B.[0,+∞) 解析:选C. 幂函数为y=x2=文,偶函数图象如 3.给出四个说法:
1．下列幂函数为偶函数的是( ) A．y＝x 1 2 B．y＝ 3 x C．y＝x 2 D．y＝x －1 解析：选 C.y＝x 2，定义域为 R，f(－x)＝f(x)＝x 2 . 2．若 a＜0，则 0.5a,5 a,5 －a 的大小关系是( ) A．5 －a＜5 a＜0.5a B．5 a＜0.5a＜5 －a C．0.5a＜5 －a＜5 a D．5 a＜5 －a＜0.5a 解析：选 B.5－a＝( 1 5 ) a，因为 a＜0 时 y＝x a 单调递减，且1 5 ＜0.5＜5，所以 5 a＜0.5a＜5 －a . 3．设 α∈{－1,1， 1 2 ，3}，则使函数 y＝x α的定义域为 R，且为奇函数的所有 α 值为( ) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 解析：选 A.在函数 y＝x －1，y＝x，y＝x 1 2，y＝x 3 中，只有函数 y＝x 和 y＝x 3 的定义域是 R，且是奇函数，故 α＝1,3. 4．已知 n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－ 1 2 ) n >(－ 1 3 ) n，则 n＝________. 解析：∵－ 1 2 <－ 1 3 ，且(－ 1 2 ) n >(－ 1 3 ) n， ∴y＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又 n∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n＝－1 或 n＝2. 答案：－1 或 2 1．函数 y＝(x＋4)2 的递减区间是( ) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：选 A.y＝(x＋4)2 开口向上，关于 x＝－4 对称，在(－∞，－4)递减． 2．幂函数的图象过点(2， 1 4 )，则它的单调递增区间是( ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) 解析：选 C. 幂函数为 y＝x －2＝ 1 x 2，偶函数图象如图． 3．给出四个说法：
①当n=0时,y=x”的图象是一个点 ②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1) ③幂函数的图象不可能出现在第四象 ④幂函数y=x在第一象限为减函数,则n<0 其中正确的说法个数是() A.1 解析:选B显然①错误;②中”的图象就不过点(0).根据幂函数的图象可知 ③、④正确,故选B 4.设a∈{-2,-1,一2,32123,则使x=x为奇函数且在(0,+∞)上单调 递减的a的值的个数是() 解析:选A.∴x)=x为奇 又∵几x)在(0,+∞)上为减函数 5.使(3-2x-x2)有意义的x的取值范围是() B.x≠1且x≠3 x<-3或x>1 解析:选C(3 x2)3 ∴要使上式有意义,需3-2x-x2>0, 解得 6.函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m B.3 C.4 D.5 解析:选Am2 1或m=2,再把 和m=2分别代 3<0,经检验得m=2 关于x的函数y=(x-1)(其中a的取值范围可以是12,3,-1,)的图象恒过点 解析:当 1,即x=2时,无论α取何值,均有 ∴函数y=(x-1)“恒过点(2,1) 答案:(2,1) 8.已知24>2.5°,则a的取值范围是 解析:∵0<24<2.5,而2.4>2.5,∴y=x在(0 )为减函数 答案:a<0 9.把 ()2,(按从小到大的顺序排列
①当 n＝0 时，y＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数 y＝x n 在第一象限为减函数，则 n＜0. 其中正确的说法个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B.显然①错误；②中如 y＝x－ 1 2 的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知 ③、④正确，故选 B. 4．设 α∈{－2，－1，－ 1 2 ， 1 3 ， 1 2 ，1,2,3}，则使 f(x)＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调 递减的 α 的值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 A.∵f(x)＝x α为奇函数， ∴α＝－1， 1 3 ，1,3. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数， ∴α＝－1. 5．使(3－2x－x 2 ) － 3 4有意义的 x 的取值范围是( ) A．R B．x≠1 且 x≠3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3 或 x＞1 解析：选 C.(3－2x－x 2 )－ 3 4 ＝ 1 4 (3－2x－x 2 ) 3 ， ∴要使上式有意义，需 3－2x－x 2＞0， 解得－3＜x＜1. 6．函数 f(x)＝(m2－m－1)x m2－2m－3 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数 m ＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选 A.m2－m－1＝1，得 m＝－1 或 m＝2，再把 m＝－1 和 m＝2 分别代入 m2－2m －3＜0，经检验得 m＝2. 7．关于 x 的函数 y＝(x－1)α (其中 α 的取值范围可以是 1,2,3，－1， 1 2 )的图象恒过点 ________． 解析：当 x－1＝1，即 x＝2 时，无论 α 取何值，均有 1 α＝1， ∴函数 y＝(x－1)α恒过点(2,1)． 答案：(2,1) 8．已知 2.4α＞2.5α，则 α 的取值范围是________． 解析：∵0＜2.4＜2.5，而 2.4α＞2.5α，∴y＝x α在(0，＋∞)为减函数． 答案：α＜0 9．把( 2 3 ) － 1 3，( 3 5 ) 1 2，( 2 5 ) 1 2，( 7 6 ) 0 按从小到大的顺序排列____________________．
解析: ∴y=x为增函数, ()2<()<(3) 答案:(2 10.求函数y=(x-1)3的单调区间 解:y=(x-1)3= 定义域为x≠1.令=x-1,则 1≠0为偶 (x-1) 函数 因为α=一3<0,所以y=r在(0,+∞)上单调递减,在(一∞,0)上单调递增.又I=x 1单调递増,故υ=(x-1)3在(1,十∞)上单调递减,在(一∞,1)上单调遷增 11.已知(m+4)2<(3-2m)2,求m的取值范围 解:∵y=x2的定义域为(0,+∞),且为减函数 ∵,原不等式化为3-2m>0 解得一<m< ∴m的取值范围是(3′2) 12.已知幂函数y=xm21+2m3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求y的解析式,并讨论此 函数的单调性和奇偶性 解:由幂函数的性质可知 m2+2m-3<0→(m-1)m+3)<0→-3<m<1, 又∵m∈Z,∴m=-2,-1,0. 当m=0或m=-2时,y=x3 定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) y=x3在(一∞,0)和(0,+∞)上都是减函数, 又∵-x)=(-x)3=-x3=-fx) ∴y=x-3是奇函数 当m=-1时,y=x-4,定义域是(-∞,0)U(0,+∞) (-x)=(-x)74= 4=fx), ∴函数y=x4是偶函数 4<0,∴y=x4在(0,+∞)上是减函数 又∵y=x4是偶函数, y=x4在(一∞,0)上是增函数
解析：( 7 6 ) 0＝1，( 2 3 ) － 1 3＞( 2 3 ) 0＝1， ( 3 5 ) 1 2＜1，( 2 5 ) 1 2＜1， ∵y＝x 1 2 为增函数， ∴( 2 5 ) 1 2＜( 3 5 ) 1 2＜( 7 6 ) 0＜( 2 3 ) － 1 3 . 答案：( 2 5 ) 1 2＜( 3 5 ) 1 2＜( 7 6 ) 0＜( 2 3 ) － 1 3 10．求函数 y＝(x－1)－ 2 3的单调区间． 解：y＝(x－1)－ 2 3＝ 1 (x－1) 2 3 ＝ 1 3 (x－1) 2 ，定义域为 x≠1.令 t＝x－1，则 y＝t － 2 3，t≠0 为偶 函数． 因为 α＝－ 2 3 ＜0，所以 y＝t － 2 3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又 t＝x －1 单调递增，故 y＝(x－1)－ 2 3在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增． 11．已知(m＋4)－ 1 2＜(3－2m) － 1 2，求 m 的取值范围． 解：∵y＝x － 1 2的定义域为(0，＋∞)，且为减函数． ∴原不等式化为 m＋4＞0 3－2m＞0 m＋4＞3－2m ， 解得－1 3 ＜m＜ 3 2 . ∴m 的取值范围是(－ 1 3 ， 3 2 )． 12．已知幂函数 y＝x m2＋2m－3 (m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求 y 的解析式，并讨论此 函数的单调性和奇偶性． 解：由幂函数的性质可知 m2＋2m－3＜0⇒(m－1)(m＋3)＜0⇒－3＜m＜1， 又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0. 当 m＝0 或 m＝－2 时，y＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0， ∴y＝x －3 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数， 又∵f(－x)＝(－x) －3＝－x －3＝－f(x)， ∴y＝x －3 是奇函数． 当 m＝－1 时，y＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(－x)＝(－x) －4＝ 1 (－x) 4＝ 1 x 4＝x －4＝f(x)， ∴函数 y＝x －4 是偶函数． ∵－4＜0，∴y＝x －4 在(0，＋∞)上是减函数， 又∵y＝x －4 是偶函数， ∴y＝x －4 在(－∞，0)上是增函数．
◆◆同步测控◆◆ 1.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是() A B D. y=x 解析:选Dy=x=,其定义域为R,值域为0,十∞),故定义域与值域不同 2.如图,图中曲线是幂函数y=x在第一象限的大致图象.已知a取-2, 四个值,则相应于曲线C,C2,C,C4的a的值依次为() 2 B.2 11 D.2 解析:选B.当x=2时,22>2,>2,>2-2, Bp Ci: y=x, C2: y=x,, C3: y 3.以下关于函数y=x当a=0时的图象的说法正确的是( A.一条直线 B.一条射线 C.除点(0,1)以外的一条直线 D.以上皆错 解析:选C∴y=x,可知x≠0 y=x的图象是直线y=1挖去(0,1)点 4.函数(x)=(1-x+(1-x)的定义域为 解1-x≠0 1-x≥0 答案:(-∞,1) ◆◆课时训绦◆◆ 1.已知幂函数x)的图象经过点(2,y2),则4)的值为 B. 解析:选C设几x)=X,则有2、解得n=-1
1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A．y＝x 1 3 B．y＝x － 1 2 C．y＝x 5 3 D．y＝x 2 3 解析：选 D.y＝x 2 3＝ 3 x 2，其定义域为 R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2．如图，图中曲线是幂函数 y＝x α 在第一象限的大致图象．已知 α 取－2，－ 1 2 ， 1 2 ，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 α 的值依次为( ) A．－2，－ 1 2 ， 1 2 ，2 B．2， 1 2 ，－ 1 2 ，－2 C．－ 1 2 ，－2,2， 1 2 D．2， 1 2 ，－2，－ 1 2 解析：选 B.当 x＝2 时，2 2＞2 1 2＞2 － 1 2＞2 －2， 即 C1：y＝x 2，C2：y＝x 1 2，C3：y＝x － 1 2，C4：y＝x －2 . 3．以下关于函数 y＝x α当 α＝0 时的图象的说法正确的是( ) A．一条直线 B．一条射线 C．除点(0,1)以外的一条直线 D．以上皆错 解析：选 C.∵y＝x 0，可知 x≠0， ∴y＝x 0 的图象是直线 y＝1 挖去(0,1)点． 4．函数 f(x)＝(1－x) 0＋(1－x) 1 2 的定义域为________． 解析： 1－x≠0 1－x≥0 ，∴x<1. 答案：(－∞，1) 1．已知幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2 2 )，则 f(4)的值为( ) A．16 B. 1 16 C.1 2 D．2 解析：选 C.设 f(x)＝x n，则有 2 n＝ 2 2 ，解得 n＝－ 1 2
即八x)=x2,所以4)=42=元 2.下列幂函数中,定义域为{xx>0}的是( B. y=x2 解析:选DAy==,x∈R:By=2=V,x≥0:Cy=x2=1,x≠0:Dy=x Vr 3.已知幂函数的图象y=xm2-2m-3(m∈Z,x≠0)与x,y轴都无交点,且关于y轴对 称,则m为() 1或 1或 C.1或3 D.3 解析:选B.因为图象与x轴、y轴均无交点,所以m2-2m-3≤0,即-1≤m≤3.又图 象关于y轴对称,且m∈Z,所以m2-2m-3是偶数,∴m=-1,13故选B 4.下列结论中,正确的是() ①幂函数的图象不可能在第四象限 ②a=0时,幂函数y=x的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y=x,当a≥0时是增函数 ④幂函数y=x2,当∝<0时,在第一象限内,随x的增大而减小 A.①② B.③④ C.②③ 解析:选Dy=x,当a=0时,x≠0;③中“增函数”相对某个区间,如y=x2在 0)上为减函数,①④正确 5.在函数y=2x,y=x2,y=x2+x,y=x中,幂函数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选By=x2与y=x是幂函数 6.幂函数fx)=x2满足x>1时x)>1,则a满足条件( A. a> B.0<a<1 D.a>0且a≠1 解析:选A当x>1时fx)>1,即∫x)>f(1),x)=x为增函数,且a> 7.幂函数x)的图象过点(3,,则八x)的解析式是 解析:设几x)=x,则有3°=√3=32→0=2 答案:八(x)=x2 8.设x∈(0,1)时,y=x(p∈R)的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是 解析:结合幂函数的图象性质可知p<1 答案:p<1
即 f(x)＝x － 1 2，所以 f(4)＝4 － 1 2＝ 1 2 . 2．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是( ) A．y＝x 2 3 B．y＝x 3 2 C．y＝x － 1 3 D．y＝x － 3 4 解析：选 D.A.y＝x 2 3＝ 3 x 2，x∈R；B.y＝x 3 2＝ x 3，x≥0；C.y＝x － 1 3＝ 1 3 x ，x≠0；D.y＝x － 3 4＝ 1 4 x 3 ，x＞0. 3．已知幂函数的图象 y＝xm2－2m－3(m∈Z，x≠0)与 x，y 轴都无交点，且关于 y 轴对 称，则 m 为( ) A．－1 或 1 B．－1,1 或 3 C．1 或 3 D．3 解析：选 B.因为图象与 x 轴、y 轴均无交点，所以 m2－2m－3≤0，即－1≤m≤3.又图 象关于 y 轴对称，且 m∈Z，所以 m2－2m－3 是偶数，∴m＝－1,1,3.故选 B. 4．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限 ②α＝0 时，幂函数 y＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数 y＝x α，当 α≥0 时是增函数 ④幂函数 y＝x α，当 α<0 时，在第一象限内，随 x 的增大而减小 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 解析：选 D.y＝x α，当 α＝0 时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如 y＝x 2 在(－∞， 0)上为减函数，①④正确． 5．在函数 y＝2x 3，y＝x 2，y＝x 2＋x，y＝x 0 中，幂函数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 B.y＝x 2 与 y＝x 0 是幂函数． 6．幂函数 f(x)＝x α满足 x＞1 时 f(x)＞1，则 α 满足条件( ) A．α＞1 B．0＜α＜1 C．α＞0 D．α＞0 且 α≠1 解析：选 A.当 x＞1 时 f(x)＞1，即 f(x)＞f(1)，f(x)＝x α为增函数，且 α＞1. 7．幂函数 f(x)的图象过点(3， 3)，则 f(x)的解析式是________． 解析：设 f(x)＝x α，则有 3 α＝ 3＝3 1 2 ⇒α＝ 1 2 . 答案：f(x)＝x 1 2 8．设 x∈(0,1)时，y＝x p (p∈R)的图象在直线 y＝x 的上方，则 p 的取值范围是________． 解析：结合幂函数的图象性质可知 p<1. 答案：p<1