6t=)(kk)=)，=((/VU=(k+1U=e/2《+1l类似地，有《|UV=e12元（+1所以VU-ei2UV继续推广，可得viuk=ei2ukye(11)由U和V构成的Ukvl可以作为Cn上的矩阵的基选择C"的基向量为[k),k=1,,n.任意的C"上的n×n的矩阵X可以写为X=Exjkli)(kljk先考虑对角项.已有结论（1)e-12元u) =3对于非对角项，有Y-12元ulym-k1) (m|=) (/Vm-kn(=1于是上述结论成立考虑 n→ 8设n是一个很大的素数.令?_2元n当n很大的时候，e很小U的本征值ukuk =ei2 =elek, k =1,2,..,n本征值uk是单位复数，均匀分布在单位圆上.当n很大时，uk分布得非常密集设U的生成元是Q，它是厄密的，Q=Qt.U=eieg考虑U的本征方程Uk）=eiekk），并注意到e很小，(1+ieQ))=(1+ie*k)k)
6 U = X k u k j ki h kj U j ki = u k j ki; h kjU = h kj uk h kj V U = h k+1jU = e i2 k+1 n h k+1j 类似地, 有 h kjU V = e i2 k n h k+1j 所以 V U = e i2 1 n U V 继续推广, 可得 V `U k = e i2 k` n U kV ` (11) 由 U 和 V 构成的 U kV ` 可以作为 Cn 上的矩阵的基 选择 Cn 的基向量为 j ki, k = 1; ; n. 任意的 Cn 上的 n n 的矩阵 X 可以写为 X = X jk xjk j j i h kj 先考虑对角项. 已有结论 (1), j ki h kj = 1 n Xn `=1 U uk ` = 1 n Xn `=1 e i2 k` n U ` 对于非对角项, 有 j ki h mj = j ki h kj V mk = 1 n Xn `=1 e i2 k` n U `V mk 于是上述结论成立. 考虑 n ! 1 设 n 是一个很大的素数. 令 2 = 2 n 当 n 很大的时候, 很小. U 的本征值 uk uk = e i2 k n = e i2k ; k = 1; 2; ; n 本征值 uk 是单位复数, 均匀分布在单位圆上. 当 n 很大时, uk 分布得非常密集. 设 U 的生成元是 Q, 它是厄密的, Q = Q . U = e iQ 考虑 U 的本征方程 U j ki = e i2k j ki, 并注意到 很小, (1 + iQ)j ki = (1 + i2 k)j ki
71Qlk) = ke [k)表明1k）是Q的本征向量，本征值是ke=k/2再设的生成元是P，V=eleP, P=pt类似地有V(0) =ei2元 [0k) =eie2l [p)P lpe) = le [pe)/2元即le）是P的本征向量，本征值是le=将Q和P的本征值与类比关系（10式对照，可以看出，Q和P将被分别解释为位置算子和动量算子可以将Q和P的本征值画在半径为！的圆周上以Q的本征值为例说明这件事：首先考虑Q的本征值的分布范围。当k的值从1取到n时，Q的本征值从e=增大到ne=2n元.显然，当n增大时，Q的本征值分布的范围也变得越来越大不过，还应该注意到酉变换U的特征。局部看来，它是平移变换，U将lse）“向前平移”到lpe+1)，平移量是e;U?将le“向前平移”到lpi+2)，平移量是2e；：….但是，整体看来是一个循环置换，所谓的“向前平移”不可能无止境地走下去，当平移量达到ne的时候，酉变换是eineo-Eeineke1vxXvel-Eenke1veXvxl-Ee12k1veXvel=1k=1k=1k=1其中的第一个等式用到了Q的本征分解形式Q=k=1kelkkl上式也就是引入生成元之后重新描述U"=1这一性质.实际上，有限维空间中的酉变换不可能将该空间中的向量“变出”这个空间.我们在这里讨论的U或者Uk也不可能实现任意大的平移，当平移量超过ne之后，就开始了新一轮的循环，所以，应该将所有可能的平移量e描绘在一个周长为ne的圆周上，这个圆的半径是1ne2元e2元 2 2元— 如图1所示，西变换U和V对Q和P的变换将酉变换V作用于算子Q，将得到e-iguPQeiqeP=Q-qel(12)将酉变换U作用于算子P，将得到eipPe-ip=P-k1(13)为了得到上面两个结果，回顾已知的性质（11）vluk=ei2ukvl
7 w Q j ki = k j ki 表明 j ki 是 Q 的本征向量, 本征值是 k = k q 2 n . 再设 v 的生成元是 P, V = e iP ; P = P 类似地有 V j'`i = e i2 ` n j'ki = e i2` j'`i P j'`i = ` j'`i 即 j'`i 是 P 的本征向量, 本征值是 ` = q 2 n `. 将 Q 和 P 的本征值与类比关系 (10) 式对照, 可以看出, Q 和 P 将被分别解释为位置算子和动量算子. 可以将 Q 和 P 的本征值画在半径为 1 的圆周上. 以 Q 的本征值为例说明这件事. 首先考虑 Q 的本征值的分 布范围. 当 k 的值从 1 取到 n 时, Q 的本征值从 = q 2 n 增大到 n = p 2n. 显然, 当 n 增大时, Q 的本征值 分布的范围也变得越来越大. 不过, 还应该注意到酉变换 U 的特征. 局部看来, 它是平移变换, U 将 j'`i ‘‘向前 平移” 到 j'`+1i, 平移量是 ; U 2 将 j'`i ‘‘向前平移” 到 j'`+2i, 平移量是 2; . 但是, 整体看来是一个循环 置换, 所谓的 ‘‘向前平移” 不可能无止境地走下去, 当平移量达到 n 的时候, 酉变换是 e inQ = Xn k=1 e ink j kih kj = Xn k=1 e ink2 j kih kj = Xn k=1 e i2k j kih kj = 1 其中的第一个等式用到了 Q 的本征分解形式 Q = Pn k=1 k j kih kj. 上式也就是引入生成元之后重新描述 U n = 1 这一性质. 实际上, 有限维空间中的酉变换不可能将该空间中的向量 ‘‘变出” 这个空间. 我们在这里讨论 的 U 或者 U k 也不可能实现任意大的平移, 当平移量超过 n 之后, 就开始了新一轮的循环, 所以, 应该将所有可 能的平移量 k 描绘在一个周长为 n 的圆周上, 这个圆的半径是 n 2 = 2 2 2 = 1 如图 1 所示. 酉变换 U 和 V 对 Q 和 P 的变换 将酉变换 V 作用于算子 Q, 将得到 e iq`P Qeiq`P = Q q`1 (12) 将酉变换 U 作用于算子 P, 将得到 e ipkQP eipkQ = P pk1 (13) 为了得到上面两个结果, 回顾已知的性质 (11), V `U k = e i2 k` n U kV `
8ne(n-1)e26n+图1由此可以推出V-lukyl=e-12元ukUkviu-k = e-i2 ve注意到e2=2元/n，将以上两式改写为e-ilePeikedeileP = e-ikeleikea = exp (ike(Q -le1)(14)eikedeilePe-ike =e-ikelegileP = exp (ile(P-ke1))(15)在(14)和(15)两式中令le=qe，ke=pk，有e-igePeipk2eiacP =exp (ipx(Q-qel)(16)eipx@ jiacPe-ipx2 = exp (iqe(P- Px1)(17)我们将由此得到关于Q和P的变换规则。注意到U-1A*U = (U-1AU)U-1f(A)U = f(U-1AU)因此，（16）式的左侧可以写为exp ipx(e-iarPQeiaep)与其右侧比较后有e-iqP QeiquP =Q-qel类似地，考虑（17)式，可以得到eipke-ipx=P-Pk1
8 2 n (n−1) n1 n1 图 1 由此可以推出 V `U kV ` = e i2 k` n U k U kV `U k = e i2 k` n V ` 注意到 2 = 2/n, 将以上两式改写为 e i`P e ikQe i`P = e ik`e ikQ = exp ˚ ik(Q `1) (14) e ikQe i`P e ikQ = e ik`e i`P = exp ˚ i`(P k1) (15) 在 (14) 和 (15) 两式中令 ` = q`, k = pk, 有 e iq`P e ipkQe iq`P = exp ˚ ipk(Q q`1) (16) e ipkQe iq`P e ipkQ = exp ˚ iq`(P pk1) (17) 我们将由此得到关于 Q 和 P 的变换规则. 注意到 U 1A kU = (U 1AU) k U 1f (A)U = f (U 1AU) 因此, (16) 式的左侧可以写为 exp n ipk e iq`P Qeiq`P o 与其右侧比较后有 e iq`P Qeiq`P = Q q`1 类似地, 考虑 (17) 式, 可以得到 e ipkQP eipkQ = P pk1