4、任意项级数及其审敛法 定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 ● 定理若∑u1收敛则∑un收敛 n= n= 定义:若∑un收敛,则称∑un为绝对收敛 n n: 若∑un发散而∑un收敛,则称∑Ln为条件收敛 n=1 H=1
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理 若 n=1 un 收敛,则 n=1 un 收敛. 定义:若 n=1 un 收敛, 则称 n=0 un 为绝对收敛; 若 n=1 un 发散,而 n=1 un 收敛, 则称 n=1 un 为条件收敛. 4、任意项级数及其审敛法
5、函数项级数 (1)定义 设u1(x),u2(x),…,un(x)…是定义在I∈R上的 函数则∑(x)=(x)+n(x)+…+n(x)+ 称为定义在区间上的(函数项无穷级数 (2)收敛点与收敛域 如果x∈/数项级数∑u1(x)收敛
5、函数项级数 (1) 定义 设u1 (x),u2 (x),,un (x),是定义在I R 上 的 函数,则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数. (2) 收敛点与收敛域 如果x I 0 ,数项级数 =1 0 ( ) n un x 收敛
则称x为级数∑n(x)的收敛点否则称为发散点 n=1 函数项级数∑1(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域 (3)和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数
则称x0为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点,否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体称为收敛域, (3) 和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数
6、幂级数 (1)定义 形如∑a(x-x)的级数称为幂级数 n=0 当x=0时,∑ax n=0 其中an为幂级数系数
(1) 定义 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 当x = 0 , 时 其中an为幂级数系数. 6、幂级数 0 n n n a x =
(2)收敛性 定理1(Abe|定理 如果级数∑unx”在x=x0(x≠0)处收敛,则 n=0 它在满足不等式x<x0的一切处绝对收敛 如果级数∑anx"在x=x处发散则它在满足 1= 不等式x|>x0的一切处发散
如果级数 n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x x0 的一切x 处发散. 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛; (2) 收敛性