给定的正数e，不论x取-?，）上什么值，都有sinnxN=1,当n>N 时,恒有<e,所以函数列n3sin nx i在(-￥，)上一致收敛于f(x)=0.nb函数列(f，在D上不一致收敛于f的正面陈述是：存 在 某 正数 en, 对任何正数 N, 都有某一点 x,I D 和某一正整数 n> N(注意:x,与 n,的取值与 N有关),使得后贡巡回前页
前页 后页 返回 给定的 取 上什么值, 都有 , , 所以函数列 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是: 存在某正数 对任何正数 N, 都有某一点 ( 注意: 的取值与 N 有关 ), 使得
f.m(x)- f(x)3 eo.由例1 中知道,")在(0, 1)上不可能一致收敛于 0.下面来证明这个结论1对任何正整数N32,取正整事实上,若取 e。=-1211 ovaI (0, 1),就有数n,= N及x,=No=1-13 1x,"-N2后贡巡回前页
前页 后页 返回 由例1 中知道, 下面来证明这个结论. 事实上, 若取 就有
函数列（f，一致收敛于f的几何意义：如图所示，"e>0,$N>0,对于序yy= f(x)+e2y=f(x)号大于N的所有曲线=J.(x)y= f,(x) (n > N),y=f(x)-e都落在曲线y=f(x)+e-bxoa与=f(x)-e所夹的带图 13-1状区域之内。后贡巡回前页
前页 后页 返回 号大于 与 状区域之内. 图 13-1
函数列x"在区间(0,1)上J不一致收敛,从几何意义上1看，就是存在某个预先给定X的e(<1),无论 N多么大x3X总存在某条曲线C0j1 xy= x"(n > N),e图 13 - 2不能全部落在由J=e与y = -e 夹成的带状区域内 (图13-2). 若函数列(x")只 限于在区向[0,b](b <1)上,则容易看到,只要后贡滋回前页
前页 后页 返回 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给 定 的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 只限于在区间 上, 则容易看到, 只要 不能全部落在由 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列
Ine(其中0<e<1),曲线 =x"就全部落在n>Inby=e 和y=-e 所类成的带状区域内,所以[")在0, b上是一致收敛的,定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列(f,)在数集 D上一致收效的充要条件是: 对任给正数 e ,总存在正数N, 使当 n, m >N,对一切 xI D,都有(4) f,(x)- fm(x)<e.证 必要性设 f,(x) f(x) (n ? ￥),xI D,即对后贡回前页
前页 后页 返回 曲线 就全部落在 所夹成的带状区域内，所以 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 在数集 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 对一切 , 都有 证 必要性