当x =0和x =1时,则对任何正整数n,都有I f,(0) - f(0)I=0<eI f,(1) - f(1)|=0<e.这就证明了{f,}在(-1,11上收敛，且极限就是所表示的函数.又当|x>1时,有|x"?+￥(n?￥),当x=-1时对应的数列为 - 1, 1,- 1,1L , 显 然是 发散的. 所 以函数列[x"1 在区向(- 1,1]外都是发散的. 故所讨论的函数列的收效域是(-1,1]后页巡回前页
前页 后页 返回 式所表示的函数. 又 显然是发散的. 所以 函数列 在区间 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 这就证明了 在( , 1] 上收敛, 且极限就是 (3)
sinnx例2定义在(-,+￥）上的函数列 f,(x):nn =1,2,L .由于对任何实数x，都有sinnxf一nn故对任给的e>0,只要 n>N=1,就有esinnx<e.n后页巡回前页
前页 后页 返回 例2
所以函数列sin nx/n的收敛域为(-￥,+￥)，极限函数为 f(x)=0.注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系．例如，能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行返回后页前页
前页 后页 返回 所以函数列 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行
定义11设函数列f与函数f定义在同一数集D&，若对任给的正数e总存在某一正整数N，使当n>N时,对一切xI D,都有 f,(x)- f(x)<e则称函数列f，在D上一致收敛于f，记作f,(x) f(x)(n ? ￥),xI D由定义看到,一致收敛就是对 D 上任何一点,函数列超于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现巡回后贡前页
前页 后页 返回 定义1 数集 上， 使当 时， 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为: 与e 相对应的N仅与 e 有关, 而与x在D上的取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作N(e).显然, 若函数列 (f,在 D 上一致收敛,则必在 D 上每一点都收效.反之,在D 上每一点都收敛的函数列,它在D上不一定一致收敛sinnxii例2中的函数列是一致收效的,因为对任意An1b后贡返回前页
前页 后页 返回 显然, 若函数列 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意